Kraftwinder/Kraftschraube

Als Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ wird in der Technischen Mechanik die Zusammenfassung von Einzelkraft ${\vec {F}}$ und Moment ${\vec {M}}_{O}$ bezüglich eines Bezugspunkts $O\in \mathbb {R} ^{3}$ bezeichnet. Im Allgemeinen sind ${\vec {F}}$ und ${\vec {M}}_{O}$ nicht parallel. Für die Wahl des Bezugspunkts $S\in \mathbb {R} ^{3}$ mit ${\vec {F}}\parallel {\vec {M}}_{S}$ wird der Kraftwinder zur Kraftschraube $({\vec {F}},{\vec {M}}_{S})$.

Kraftwinder für den Bezugspunkt $O$ und äquivalente Kraftschraube für den Bezugspunkt $S$

Moment

• Das Moment ${\vec {M}}_{O}$ einer Einzelkraft ist ein gebundener Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ abhängig.
• Das Moment ${\vec {M}}_{O}$ eines Kräftepaars ist ein freier Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ unabhängig.

Moment einer Einzelkraft

Sei $O\in \mathbb {R} ^{3}$ ein beliebig gewählter, fester Bezugspunkt. Der Punkt $P'$ ist der Endpunkt des zugehörigen Ortsvektors ${\vec {r}}_{OP'}$ und beschreibt die Gerade $\mathrm {g} _{P}$ der Wirkungslinie der Einzelkraft.

Mit Hilfe des Parameters $\lambda _{P}\in \mathbb {R}$ in Meter [m] wird die Gerade $\mathrm {g} _{P}$ wie folgt definiert:

${\begin{aligned}\mathrm {g} _{P}\!:\ {\vec {r}}_{OP'}&={\vec {r}}_{OP}+\lambda _{P}\,{\vec {e}}_{F}\end{aligned}}$

Das Moment ${\vec {M}}_{O}$ einer Einzelkraft ${\vec {F}}$ berechnet sich für Angriffspunkte $P'\in \mathrm {g} _{P}$ wie folgt:

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{O}&={\vec {r}}_{OP'}\times {\vec {F}}\\&=({\vec {r}}_{OP}+\lambda _{P}\,{\vec {e}}_{F})\times {\vec {F}}\\&={\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}+\lambda _{P}\,\underbrace {{\vec {e}}_{F}\times {\vec {F}}} _{=\,{\vec {0}}}\\\Rightarrow \quad {\vec {M}}_{O}&={\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}\qquad \forall \ P'\in \mathrm {g} _{P}\end{aligned}}$

Ergebnis: Zur Berechnung des Einzelkraft-Moments ist der Ortsvektor ${\vec {r}}_{OP}$ ausschlaggebend. Der Ortsvektor ${\vec {r}}_{OP}$ definiert den Angriffspunkt $P$ der Einzelkraft ${\vec {F}}$ bezogen auf den Bezugspunkt $O$. Neben Ortsvektor und Kraft ist auch das Einzelkraft-Moment ein gebundener Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ abhängig.

Moment eines Kräftepaars

Sei $O\in \mathbb {R} ^{3}$ ein beliebig gewählter, fester Bezugspunkt. Die Punkte $P'$ und $Q'$ sind die Endpunkte der zugehörigen Ortsvektoren ${\vec {r}}_{OP'}$ und ${\vec {r}}_{OQ'}$ und beschreiben die Geraden $\mathrm {g} _{P}$, $\mathrm {g} _{Q}$ der Wirkungslinien des Kräftepaars. Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$ definieren den senkrechten, minimalen Abstandsvektor ${\vec {r}}_{PQ}\perp {\vec {F}}$ zwischen den Parallelen.

Mit Hilfe der Parameter $\lambda _{P},\lambda _{Q}\in \mathbb {R}$ in Meter [m] werden die beiden Geraden $\mathrm {g} _{P}$ und $\mathrm {g} _{Q}$ wie folgt definiert:

${\begin{aligned}\mathrm {g} _{P}\!:\ {\vec {r}}_{OP'}&={\vec {r}}_{OP}+\lambda _{P}\,{\vec {e}}_{-\!F}\\\mathrm {g} _{Q}\!:\ {\vec {r}}_{OQ'}&={\vec {r}}_{OQ}+\lambda _{Q}\,{\vec {e}}_{F}\qquad {\text{mit}}\quad {\vec {r}}_{OQ}={\vec {r}}_{OP}+{\vec {r}}_{PQ}\end{aligned}}$

Das Moment ${\vec {M}}_{O}$ eines Kräftepaars berechnet sich für Angriffspunkte $P'\in \mathrm {g} _{P}$ und $Q'\in \mathrm {g} _{Q}$ wie folgt:

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{O}&={\vec {r}}_{OP'}\times (-\!{\vec {F}})+{\vec {r}}_{OQ'}\times {\vec {F}}\\&=({\vec {r}}_{OP}+\lambda _{P}\,{\vec {e}}_{-\!F})\times (-\!{\vec {F}})+({\vec {r}}_{OQ}+\lambda _{Q}\,{\vec {e}}_{F})\times {\vec {F}}\\&=({\vec {r}}_{OP}+\lambda _{P}\,{\vec {e}}_{-\!F})\times (-\!{\vec {F}})+({\vec {r}}_{OP}+{\vec {r}}_{PQ}+\lambda _{Q}\,{\vec {e}}_{F})\times {\vec {F}}\\&={\vec {r}}_{OP}\times (-\!{\vec {F}})+\lambda _{P}\,\underbrace {{\vec {e}}_{-\!F}\times (-\!{\vec {F}})} _{=\,{\vec {0}}}+{\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}+{\vec {r}}_{PQ}\times {\vec {F}}+\lambda _{Q}\,\underbrace {{\vec {e}}_{F}\times {\vec {F}}} _{=\,{\vec {0}}}\\&=-{\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}+{\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}+{\vec {r}}_{PQ}\times {\vec {F}}\\&\\\Rightarrow \quad {\vec {M}}_{O}&={\vec {r}}_{PQ}\times {\vec {F}}\qquad \forall \ O\in \mathbb {R} ^{3}\end{aligned}}$

Ergebnis: Ein Ortsvektor taucht in der Vektorgleichung nicht mehr auf. Zur Berechnung des Kräftepaar-Moments ist der Abstandsvektor ${\vec {r}}_{PQ}$ der Kräfte ausschlaggebend. Das Kräftepaar-Moment ist ein freier Vektor und von der Wahl des Bezugspunktes $O$ unabhängig.

Äquivalenzprinzip (Statik)

Zwei verschiedene Systeme gebundener Vektoren bzw. Kräftesysteme $({\vec {F}}_{A_{i}})$ und $({\vec {F}}_{B_{j}})$ mit $\sum {\vec {F}}_{A_{i}}=\sum {\vec {F}}_{B_{j}}$ sind äquivalent und damit statisch gleichwertig, wenn sich für beliebig gewählte, feste Bezugspunkte $O\in \mathbb {R} ^{3}$ gleiche resultierende Momente ${\vec {M}}_{O}$ ergeben. Die Angriffspunkte der zugehörigen Kräfte ${\vec {F}}_{A_{i}}$ und ${\vec {F}}_{B_{j}}$ werden hierbei durch die Endpunkte der Ortsvektoren ${\vec {r}}_{OA_{i}}$ und ${\vec {r}}_{OB_{j}}$ festgelegt:

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{O}=\sum _{i=1}^{m}{\vec {M}}_{OA_{i}}=\sum _{i=1}^{m}({\vec {r}}_{OA_{i}}\times {\vec {F}}_{A_{i}})&=\sum _{j=1}^{n}{\vec {M}}_{OB_{j}}=\sum _{j=1}^{n}({\vec {r}}_{OB_{j}}\times {\vec {F}}_{B_{j}})\\&\Leftrightarrow \\({\vec {F}}_{A_{1}},{\vec {F}}_{A_{2}},\dotsc ,{\vec {F}}_{A_{m}})&\sim ({\vec {F}}_{B_{1}},{\vec {F}}_{B_{2}},\dotsc ,{\vec {F}}_{B_{n}})\end{aligned}}$

Kraftwinder

Für ein System von Kräften $({\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dotsc ,{\vec {F}}_{n})$ kann zu jedem beliebig gewählten, festen Bezugspunkt $O\in \mathbb {R} ^{3}$ ein äquivalenter Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ gebildet werden. Die Reduktion aller (angreifenden) Kräfte führt auf eine resultierende Einzelkraft ${\vec {F}}$ und ein resultierendes Kräftepaar, das durch das Moment ${\vec {M}}_{O}$ gekennzeichnet ist.

Einzelkraft und Kräftepaar sind die elementaren Bausteine von Kräftesystemen. Bezogen auf den Punkt $O$ ist der Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ die Zusammenfassung dieser resultierenden Eizelkraft ${\vec {F}}$ und des resultierenden Moments ${\vec {M}}_{O}$:

$({\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dotsc ,{\vec {F}}_{n})\sim ({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})\quad {\text{mit}}\;{\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;{\text{und}}\;{\vec {M}}_{O}=\sum _{i}({\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}).$

Die gesamte physikalische Wirkung der in ${\vec {r}}_{i}$ angreifenden Kräfte ${\vec {F}}_{i}$ bezüglich $O$ wird durch den Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ gekennzeichnet.

Bezugspunktwechsel

Äquivalente Kraftwinder für die Bezugspunkte $O$ und $P$

Das Äquivalenzprinzip fordert, dass Kräftesysteme unabhängig vom gewählten Bezugspunkt statisch gleichwertig sein müssen. Somit darf ein Wechsel von $O\in \mathbb {R} ^{3}$ nach $P\in \mathbb {R} ^{3}$ die statische Wirkung des Kräftesystems nicht ändern.

Zur Erinnerung: Das Moment ${\vec {M}}_{O}$ eines Kräftepaares ist ein freier Vektor, die Kraft ${\vec {F}}$ ist ein gebundener Vektor. Eine äquivalente Umformung erlaubt daher, dass ${\vec {M}}_{O}$ beliebig und ${\vec {F}}$ nur entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden darf.

Wird dagegen die Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie nach $P$ verschoben, muss die Systemänderung, das zusätzlich entstehende Versatzmoment ${\vec {M}}_{\mathrm {V} }={\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}$, entsprechend korrigiert werden.

Seien $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ bzw. $({\vec {F}},{\vec {M}}_{P})$ äquivalente Kraftwinder für die Punkte $O$ bzw. $P$, dann gilt:

${\begin{aligned}({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})&\sim ({\vec {F}},{\vec {M}}_{P})\qquad \forall \ O,P\in \mathbb {R} ^{3}\\&\Leftrightarrow \\{\vec {M}}_{P}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {M}}_{\mathrm {V} }\\{\vec {M}}_{P}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OP}\times {\vec {F}}\end{aligned}}$

Demnach resultiert ${\vec {M}}_{P}$ aus dem freien Moment ${\vec {M}}_{O}$, subtrahiert durch das Verzatzmoment ${\vec {M}}_{\mathrm {V} }$ der Einzelkraft ${\vec {F}}$.

Kraftschraube

Es lassen sich stets Bezugspunkte $S'\in \mathbb {R} ^{3}$ finden, für die das Moment ${\vec {M}}_{S}$ dieselbe Richtung wie ${\vec {F}}$ hat. Einen derartigen Kraftwinder mit ${\vec {M}}_{S}\parallel {\vec {F}}$ nennt man Kraftschraube $({\vec {F}},{\vec {M}}_{S})$. Zu jedem beliebigen Kräftesystem gibt es eine äquivalente Kraftschraube.

Bei gegebenen Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ werden zur Bestimmung von $({\vec {F}},{\vec {M}}_{S})$ folgende Annahmen bzw. Definitionen getroffen:

• Zerlegung von ${\vec {M}}_{O}={\vec {M}}_{\parallel }+{\vec {M}}_{\perp }$ in Komponenten parallel und senkrecht zur Kraft
• Definition eines kürzesten, senkrecht zur Kraft stehenden Ortsvektors ${\vec {r}}_{OS}\perp {\vec {F}}$
• Definition der Steigung der Schraube $p\in \mathbb {R}$ in Meter [m] wegen ${\vec {M}}_{S}\parallel {\vec {F}}$ mit dem Ansatz ${\vec {M}}_{S}=p\,{\vec {F}}$

Identitäten

Die Zerlegung von ${\vec {M}}_{O}$ in Komponenten parallel und senkrecht zur Kraft und Ausgehend vom Bezugspunktwechsel bezüglich $S$, liefert die Vektorgleichung, den Ansatz zur Bestimmung folgender Identitäten:

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {M}}_{\mathrm {V} }\\{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{\parallel }+\underbrace {{\vec {M}}_{\perp }-{\vec {M}}_{\mathrm {V} }} _{=\,{\vec {0}}}\\\Rightarrow {\vec {M}}_{\mathrm {V} }&\equiv {\vec {M}}_{\perp }\;{\text{und}}\;{\vec {M}}_{S}\equiv {\vec {M}}_{\parallel }\end{aligned}}$

1. Der senkrechte Anteil ${\vec {M}}_{\perp }$ von ${\vec {M}}_{O}$ ist identisch mit ${\vec {M}}_{\mathrm {V} }$
2. Der parallele Anteil ${\vec {M}}_{\parallel }$ von ${\vec {M}}_{O}$ ist identisch mit ${\vec {M}}_{S}$

Rechtssystem

Die Definition eines kürzesten, senkrecht zur Kraft stehenden Ortsvektors ${\vec {r}}_{OS}\perp {\vec {F}}$ liefert die Voraussetzung, dass alle drei Vektoren ${\vec {r}}_{OS}$, ${\vec {F}}$ und ${\vec {M}}_{\mathrm {V} }$ senkrecht aufeinander stehen. Die zugehörigen Einheitsvektoren ${\vec {e}}_{r_{OS}},\,{\vec {e}}_{F}$ und ${\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}$ bilden ein Rechtssystem:

${\begin{aligned}{\vec {e}}_{r_{OS}}\times {\vec {e}}_{F}&={\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}\\{\vec {e}}_{F}\times {\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}&={\vec {e}}_{r_{OS}}\\{\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}\times {\vec {e}}_{r_{OS}}&={\vec {e}}_{F}\end{aligned}}$

Herleitung

Die Definition der Schraubensteigung $p$ mit ${\vec {M}}_{S}=p\,{\vec {F}}$ liefert zusammen mit dem Rechtssystem und der Vektorgleichung zum Bezugspunktwechsel den Ansatz zur Herleitung der gesuchten Größen $p$ und ${\vec {r}}_{OS}$.

Steigung

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {M}}_{\mathrm {V} }\\{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\\p\,{\vec {F}}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\\p\,{\vec {F}}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\qquad \qquad \qquad |\cdot {\vec {F}}\\p\,{\vec {F}}\cdot {\vec {F}}&={\vec {M}}_{O}\cdot {\vec {F}}-\underbrace {({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\cdot {\vec {F}}} _{=\,0}\\p\,F^{2}&={\vec {M}}_{O}\cdot {\vec {F}}\\&\\\Rightarrow \quad p&={\frac {{\vec {F}}\cdot {\vec {M}}_{O}}{F^{2}}}\end{aligned}}$

Die Steigung der Kraftschraube $p\in \mathbb {R}$ ist ein skalarer Faktor und proportional zum Skalarprodukt $({\vec {F}}\cdot {\vec {M}}_{O})$.

Ortsvektor

${\begin{aligned}{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {M}}_{\mathrm {V} }\\{\vec {M}}_{S}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\\p\,{\vec {F}}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\\p\,{\vec {F}}&={\vec {M}}_{O}-{\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}}\qquad \qquad \qquad |\times {\vec {F}}\\p\,\underbrace {{\vec {F}}\times {\vec {F}}} _{=\,{\vec {0}}}&={\vec {M}}_{O}\times {\vec {F}}-\underbrace {({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}} _{=\,-{\vec {r}}_{OS}\,F^{2}}\\0&={\vec {M}}_{O}\times {\vec {F}}+{\vec {r}}_{OS}\,F^{2}\\&\\\Rightarrow \quad {\vec {r}}_{OS}&={\frac {{\vec {F}}\times {\vec {M}}_{O}}{F^{2}}}\end{aligned}}$

Die Lage des Punktes $S\in \mathbb {R} ^{3}$ wird durch den Ortsvektor ${\vec {r}}_{OS}$ bestimmt und ist proportional zum Vektorprodukt $({\vec {F}}\times {\vec {M}}_{O})$.

Doppeltes Vektorprodukt

Zur Bestimmung des Ortsvektors ${\vec {r}}_{OS}$ muss das doppelte Vektorprodukt $({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}$ ausgewertet werden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Beide Ansätze liefern das gleich korrekte Ergebnis:

• Via Entwicklungssatz: $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {b}}({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})-{\vec {a}}({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$

${\begin{aligned}({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}&={\vec {F}}(\underbrace {{\vec {F}}\cdot {\vec {r}}_{OS}} _{=\,0})-{\vec {r}}_{OS}({\vec {F}}\cdot {\vec {F}})\\&\\\Rightarrow \quad ({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}&=-{\vec {r}}_{OS}\,F^{2}\end{aligned}}$

• Via Einheitsvektoren multipliziert mit den Beträgen: ${\vec {r}}_{OS}=r_{OS}\cdot {\vec {e}}_{r_{OS}}$ und ${\vec {F}}=F\cdot {\vec {e}}_{F}$

${\begin{aligned}({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}&=(r_{OS}\,{\vec {e}}_{r_{OS}}\times F\,{\vec {e}}_{F})\times F\,{\vec {e}}_{F}\\&=r_{OS}\,F^{2}\,(\underbrace {{\vec {e}}_{r_{OS}}\times \,{\vec {e}}_{F}} _{=\,{\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}})\times {\vec {e}}_{F}\\&=r_{OS}\,F^{2}\,\underbrace {{\vec {e}}_{M_{\mathrm {V} }}\times {\vec {e}}_{F}} _{=\,-\!{\vec {e}}_{r_{OS}}}\\&=-r_{OS}\,F^{2}\,{\vec {e}}_{r_{OS}}\\&\\\Rightarrow \quad ({\vec {r}}_{OS}\times {\vec {F}})\times {\vec {F}}&=-{\vec {r}}_{OS}\,F^{2}\end{aligned}}$

Zentralachse (Statik)

Die Vektorgleichung der Geraden mit ${\vec {M}}_{S}\parallel {\vec {F}}$ heißt Zentralachse $\mathrm {g} _{S}$ der Kraftschraube und hat folgende Eigenschaft:

$\forall \;S'\in \mathrm {g} _{S}\quad \Leftrightarrow \quad ({\vec {F}},{\vec {M}}_{S})\equiv ({\vec {F}},{\vec {M}}_{S'})$

Die Zentralachse $\mathrm {g} _{S}$ kann mit Hilfe des Parameters $\lambda _{S}\in \mathbb {R}$ in Meter [m] definiert werden:

$\mathrm {g} _{S}\!:\ {\vec {r}}_{OS'}={\vec {r}}_{OS}+\lambda _{S}\,{\vec {e}}_{F}$

Sonderfälle

• Der Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {0}})$ wird zur Einzelkraft ${\vec {F}}$
• Der Kraftwinder $({\vec {0}},{\vec {M}}_{O})$ wird zum Kräftepaar ${\vec {M}}_{O}$
• Der Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ mit $({\vec {M}}_{O}\equiv {\vec {M}}_{S})\parallel {\vec {F}}$ wird zur Kraftschraube $({\vec {F}},{\vec {M}}_{S})$
• Der Kraftwinder $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})$ mit ${\vec {M}}_{O}\perp {\vec {F}}$ ist einer Einzelkraft $({\vec {F}},{\vec {0}})$ äquivalent
• Der Nullwinder $({\vec {0}},{\vec {0}})$ ist einem Nullsystem von Kräften bzw. einer Nullkraft äquivalent
• Der Kraftwinder eines (ebenen und räumlichen) zentralen Kräftesystems, mit gemeinsamen Schnittpunkt (Zentrum) aller Wirkungslinien, ist einer Einzelkraft äquivalent: $({\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dotsc ,{\vec {F}}_{n})\sim ({\vec {F}},{\vec {0}})$
• Der Kraftwinder eines ebenen Kräftesystems, mit $({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})\neq ({\vec {0}},{\vec {0}})$ hat die Eigenschaft ${\vec {M}}_{O}\perp {\vec {F}}$ und ist einer Einzelkraft äquivalent: $({\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},\dotsc ,{\vec {F}}_{n})\sim ({\vec {F}},{\vec {M}}_{O})\sim ({\vec {F}},{\vec {0}})$

Literatur

• K. Magnus / H.H. Müller: Grundlagen der Technischen Mechanik, 2. Auflage, Teubner Studienbücher, 1979, S. 25 - 43, ISBN 3-519-12324-X.
• W. Beitz, K.-H. Küttner (Hrsg.): Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 14. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1981, S. 118 - 120, ISBN 3-540-09422-9, ISBN 0-387-09422-9.