Kretschmann-Skalar

Der Kretschmann-Skalar $K$ (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.

Definition

Der Kretschmann-Skalar $K$ ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

$K=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{\kappa =0}^{3}\sum _{\lambda =0}^{3}\sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$.

Hierbei bezeichnet $R_{\kappa \lambda \mu \nu }$ den Riemannschen Krümmungstensor und $\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\sum _{i=0}^{3}g^{\kappa i}\,\sum _{j=0}^{3}g^{\lambda j}\,\sum _{k=0}^{3}g^{\mu k}\,\sum _{l=0}^{3}g^{\nu l}\,R_{ijkl}\,$.

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor $C_{\kappa \lambda \mu \nu }$, den Ricci-Tensor $R_{\kappa \lambda }$ sowie den Ricci-Skalar $R$ wie folgt ausgedrückt werden:

$K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}$

Beispiele

Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik

Für die Schwarzschild-Metrik

$\mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta \mathrm {d} \varphi ^{2}$

mit der Zeitkoordinate $t$, den Kugelkoordinaten $(r,\vartheta ,\varphi )$ und dem Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}$ ist der Kretschmann-Skalar mit dem Schwarzschild-Radius $r_{s}$ gegeben durch:

$K_{\text{Schwarzschild}}=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}$

Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius $r_{\mathrm {s} }$ völlig harmlos. Die Divergenz von $R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }$ bei $r=0$ zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt.

Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik

Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse $M$ und des Drehimpulses $J$ lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter $a=\textstyle {\frac {J}{Mc}}$ in Boyer-Lindquist Koordinaten mit $r_{\mathrm {s} }=2GM/c^{2}$

${\text{d}}s^{2}=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\frac {2r_{\mathrm {s} }ra\sin ^{2}\vartheta }{\rho ^{2}}}c{\text{d}}t{\text{d}}\varphi +{\frac {A}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\vartheta {\text{d}}\varphi ^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}{\text{d}}r^{2}+\rho ^{2}{\text{d}}\vartheta ^{2}$

mit den Größen $\Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}$, $\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta$ und $A=(r^{2}+a^{2})^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\vartheta$. Dabei ist $r=r_{z}$ der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius $r_{z}$. Dann ist der Kretschmann-Skalar

${\begin{aligned}K_{\text{Kerr}}&=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{6}-15a^{2}r^{4}\cos ^{2}\vartheta +15a^{4}r^{2}\cos ^{4}\vartheta -a^{6}\cos ^{6}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )(r^{4}-14a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta +a^{4}\cos ^{4}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )[(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{2}-16a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta ]\end{aligned}}$

Der Kretschmann-Skalar $K_{\text{Kerr}}$ geht für die verschwindende Rotation $a=0$ über in $K_{\text{Schwarzschild}}$!

$K_{\text{Kerr}}$ hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei

$\rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta =0$

Bei dieser Singularität wird $r=0=\cos \vartheta$. In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten $x+{\text{i}}y=(r-{\text{i}}a){\text{e}}^{{\text{i}}\varphi }\sin \vartheta$ und $z=r\cos \vartheta$ gilt

$x^{2}+y^{2}=(x+{\text{i}}y)(x-{\text{i}}y)=(r-{\text{i}}a)(r+{\text{i}}a)\sin ^{2}\vartheta =(r^{2}+a^{2})(1-\cos ^{2}\vartheta )\quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad {\text{und }}z=0\quad {\text{für }}r=0=\cos \vartheta$

Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius $a$, der in der $x$-$y$-Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für $r>0$ und $r<0$ diskutieren Stephen Hawking und George Ellis.

Die Größe $\Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }r+a^{2}=0$ ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar $K_{\text{Kerr}}$ vorkommt.