Kriterium von Ermakoff

Das Kriterium von Ermakoff oder das Ermakoffsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem russischen Mathematiker Wassili Petrowitsch Ermakoff (1845–1922) betitelt ist.

Formulierung

Die Funktion $f\colon {[0,\infty [}\to \mathbb {R}$ sei stetig, positiv und monoton fallend für $x>1$. Die Reihe habe die Gestalt

$(*)$   $A:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)$,

wobei $f(n)$ der Wert der für $x\geqq 1$ definierten Funktion $f(x)$ an der Stelle $x=n$ ist. Dann gilt für die Reihe für hinreichend große $x$ (etwa für $x\geqq x_{0}$) entweder die Ungleichung für Konvergenz oder die für Divergenz:

$A\colon {\begin{cases}{\text{konvergent, falls}}&{\Bigg .}{\dfrac {f(e^{x})e^{x}}{f(x)}}\leqq q<1{\Bigg .}\\{\text{divergent, falls}}&{\dfrac {f(e^{x})e^{x}}{f(x)}}\geqq 1\,.\end{cases}}$

Beweis

Die erste Ungleichung sei erfüllt. Für jedes $x\geqq x_{0}$ gilt dann mit der Substitution $t=e^{u}$:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})e^{u}\mathrm {d} u\leqq q\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t$;

daraus folgt:

${\begin{aligned}(1-q)\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t&\leqq q\left(\,\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\right)\\&=q\left(\,\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\right)\leqq q\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}$,

denn es gilt:

$(**)$   $e^{x}>x$,

der Subtrahend in der zweiten runden Klammer ist also positiv. In diesem Fall gilt:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\leqq {\frac {q}{1-q}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t$;

fügen wir zu beiden Seiten das Integral $\int _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t$ hinzu, so erhalten wir:

$\int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\leqq {\frac {1}{1-q}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=L$

und daraus, unter Berücksichtigung von $(**)$:

$\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t\leqq L\qquad \left(x\geqq x_{0}\right)$.

Da mit wachsendem $x$ auch das Integral wächst, besitzt es für $x\to \infty$ einen endlichen Grenzwert:

$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t$;

nach dem Integralkriterium ist die Reihe $(*)$ also konvergent.

Nun sei die zweite Ungleichung erfüllt. Dann ist:

$\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t$

und, wenn zu beiden Seiten das Integral $\int _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t$ addiert wird:

$\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=\gamma >0$

(denn wegen $(**)$ ist $x_{0}<e^{x_{0}}$). Jetzt bilden wir eine Zahlenfolge $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n},\ldots$ durch die Festsetzung $x_{n}=e^{x_{n-1}}$; nach dem Bewiesenen ist:

$\int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \gamma$,

also:

$\int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\mathrm {d} t=\sum \limits _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t\geqq n\gamma$.

Damit ist klar, dass:

$\int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t=\lim \limits _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t=\infty$

gilt, d. h., nach dem Integralkriterium ist die Reihe $(*)$ divergent.

Literatur

• Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/Физматгиз], Frankfurt am Main [Moskau] 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 268/732 S. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai, Erstausgabe: 1959).