Kriterium von Kummer

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Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

Sei eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

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Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass ab einem bestimmten Index der Ausdruck

stets größer oder gleich einer positiven Konstante ist, dann konvergiert die Reihe .[1]

Divergenzaussage

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Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass

  • die Reihe der reziproken Glieder divergiert und
  • ab einem bestimmten Index der Ausdruck
stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe .[1]

Beweis der Konvergenzaussage

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Es gelte für alle Indizes die Abschätzung

.

Nach dem Durchmultiplizieren mit ergibt sich daraus

.

Diese Ungleichung lässt sich nun von bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als , diese Schranke hängt nicht von ab. Also gilt für alle

Daher wächst die Folge der Partialsummen ab dem Index monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit .

Beweis der Divergenzaussage

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Es gelte für alle Indizes die Abschätzung

und damit auch .

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von bis zu einem beliebig großen Index ergibt sich

,

nach weiterem Umstellen

.

Wird diese Ungleichung von bis zu einem beliebig großen Index aufsummiert, so folgt

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für . Also divergiert auch nach dem Minorantenkriterium.

Einzelnachweise

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  1. a b Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.