Kriterium von Kummer
Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.
Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.
Formulierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.
Konvergenzaussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass ab einem bestimmten Index der Ausdruck
stets größer oder gleich einer positiven Konstante ist, dann konvergiert die Reihe .[1]
Divergenzaussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge , so dass
- die Reihe der reziproken Glieder divergiert und
- ab einem bestimmten Index der Ausdruck
- stets kleiner gleich Null ist,
dann divergiert die Reihe .[1]
Beweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Beweis der Konvergenzaussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gelte für alle Indizes die Abschätzung
- .
Nach dem Durchmultiplizieren mit ergibt sich daraus
- .
Diese Ungleichung lässt sich nun von bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.
Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als , diese Schranke hängt nicht von ab. Also gilt für alle
Daher wächst die Folge der Partialsummen ab dem Index monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit .
Beweis der Divergenzaussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gelte für alle Indizes die Abschätzung
- und damit auch .
Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von bis zu einem beliebig großen Index ergibt sich
- ,
nach weiterem Umstellen
- .
Wird diese Ungleichung von bis zu einem beliebig großen Index aufsummiert, so folgt
Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für . Also divergiert auch nach dem Minorantenkriterium.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ a b Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.