Krylow-Zerlegung

In der numerischen Mathematik ist eine Krylow-Zerlegung (nach Alexei Nikolajewitsch Krylow) eine Matrixgleichung der folgenden Gestalt:

$AQ_{k}=Q_{k+1}{\underline {C}}_{k}=Q_{k}C_{k}+q_{k+1}c_{k+1,k}e_{k}^{T},$

wobei $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ eine quadratische Matrix ist, $Q_{k+1}=\left(Q_{k},q_{k+1}\right)\in \mathbb {C} ^{n\times (k+1)}$ als Spalten die Basisvektoren eines Krylowraumes enthält und $C_{k}\in \mathbb {C} ^{k\times k}$ eine (im Allgemeinen unreduzierte) Hessenbergmatrix ist.

Ferner bezeichnet $e_{k}\in \mathbb {C} ^{k}$ den k-ten kanonischen Einheitsvektor und ${\underline {C}}_{k}\in \mathbb {C} ^{(k+1)\times k}$ ist eine um eine unten angefügte Zeile erweiterte Hessenbergmatrix, wobei nur das letzte Element dieser Zeile ungleich Null ist.

Diese Krylow-Zerlegungen treten in natürlicher Weise bei der algorithmischen Beschreibung von Krylow-Unterraum-Verfahren auf. Der Begriff wurde von Pete Stewart geprägt.