Länge (Algebra)
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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Länge ein Maß für die Größe eines Moduls.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei ein Modul über einem Ring . Die Länge von ist das Supremum der Längen von Ketten von Untermoduln der Form[1]
Die Länge wird oft mit oder bezeichnet.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Nur der Nullmodul hat Länge 0.
- Ein Modul ist genau dann einfach, wenn seine Länge 1 ist.
- Ein Modul hat genau dann endliche Länge, wenn er artinsch und noethersch ist.[2]
- Die Länge ist additiv auf kurzen exakten Folgen: Ist
- exakt, so ist ; sind zwei dieser Zahlen endlich, so ist es auch die dritte.
- Eine Kompositionsreihe ist eine Kette von Untermodulen, die einfache Subquotienten besitzt. Die Länge jeder Kompositionsreihe ist gleich der Länge des Moduls.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Vektorräume haben genau dann endliche Länge, wenn sie endlichdimensional sind; in diesem Fall ist ihre Länge gleich ihrer Dimension.
- Der -Modul hat unendliche Länge: Für jede natürliche Zahl ist
- eine Kette von Untermoduln der Länge .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Siegfried Bosch: Algebra, 6. Auflage 2006, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 72.
- ↑ Henning Krause, Claus Michael Ringel ed.: Infinite length modules. Birkhäuser, Basel 2000, ISBN 3-7643-6413-0, S. 3.