Lagrangesche Betrachtungsweise

Der rote Punkt zeigt einen möglichen Standpunkt für die Lagrangesche Betrachtungsweise einer sich in einem Raum (schwarzes Gitter) bewegenden Gummihaut (grau)

Die Lagrangesche Betrachtungsweise bezeichnet eine spezielle Perspektive bei der Beobachtung einer Bewegung eines Körpers, stellt also einen bestimmten Beobachterstandpunkt dar. Bei der lagrangeschen Betrachtungsweise oder im Lagrange-Bild wird die Bewegung des Körpers von einem seiner materiellen Punkte (Partikel) aus analysiert, weshalb diese Betrachtungsweise auch materielle Betrachtungsweise genannt wird.

Beispielsweise würde eine frei mit dem Wasser mitschwimmende Boje in einem Fluss die Strömung in der Lagrangeschen Betrachtungsweise wahrnehmen. Ein Beispiel aus der Festkörpermechanik zeigt die Abbildung rechts. Hier wird danach gefragt, welche Bedingungen, z. B. welcher Druck oder welche Temperatur, in einem bestimmten Partikel vorliegen. Die Lagrangesche Betrachtungsweise wird von der Festkörpermechanik bei kleinen bis nicht zu großen Verformungen benutzt.

Die Lagrangesche Betrachtungsweise wurde von Leonhard Euler 1762 eingeführt.

Beschreibung

Im Lagrange-Bild steht der Beobachter einer Bewegung an einem festen materiellen Punkt oder Partikel. Indem alle Raumpunkte, die ein Partikel mit der Zeit passiert, markiert werden, entsteht eine Bahnlinie, die also mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise assoziiert ist.

In der Lagrangeschen Betrachtungsweise werden alle physikalischen Größen dargestellt bezüglich der Ausgangskonfiguration, die den Körper für Berechnungen zeitlich fixiert abbildet:

• Wenn immer dieselbe Ausgangskonfiguration benutzt wird, wird von der totalen Lagrangeschen Betrachtungsweise gesprochen (engl. total lagrange),
• andernfalls von der aktualisierten Lagrangeschen Betrachtungsweise (engl. updated lagrange).

Die mit der Lagrangeschen Betrachtungsweise abgeleiteten Gleichungen liegen dann in der Lagrangeschen Fassung oder Lagrangeschen Darstellung vor.

In den Gleichungen der Kontinuumsmechanik werden die auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Größen zumeist mit Großbuchstaben geschrieben oder mit dem Index ...₀ versehen.

Vorteile

Weil bei der Lagrangeschen Betrachtungsweise die physikalischen Größen am Partikel vorliegen, besitzt deren Zeitableitung keinen konvektiven Anteil und ist leicht zu berechnen. Ein Massentransport über die Grenze des Körpers kann nicht stattfinden, so dass die Massenbilanz ebenso wie die anderen Bilanzgleichungen einfach zu formulieren sind.

Viele der auf die Ausgangskonfiguration bezogenen Spannungs- und Verzerrungstensoren sind wie ihre Zeitableitungen objektiv.

Die Angabe von Nebenbedingungen an freien Flächen bereitet keine Schwierigkeiten. Bei kleinen Deformationen und linearem Materialverhalten, was in vielen, vor allem technischen, Fällen vorliegt, vereinfachen sich die Gleichungen derart, dass für viele wichtige Probleme analytische Lösungen vorliegen oder herleitbar sind.

Nachteile

Wegen des Bezuges zur Ausgangskonfiguration bereiten große Deformationen, z. B. bei Umformprozessen, erhebliche numerische Schwierigkeiten. Die mit großen Deformationen einhergehende Änderung der Eigenschaften eines Körpers, z. B. bei einer Einschnürung, bewirken geometrisch nichtlineare Effekte, die den Rechenaufwand um ein Vielfaches gegenüber einer geometrisch linearen erhöhen.

Die Inkompressibilität eines Materials führt zu zusätzlichen Schwierigkeiten.

Zusammenfassung

Die Eigenschaften der Lagrangeschen Betrachtungsweise sind nochmal in der Tabelle zusammengestellt.

Eigenschaft	Belegung
Namensgeber	Joseph-Louis Lagrange
Urheber	Leonhard Euler (1762)
Beobachterstandort	Materieller Punkt
Anwendung	Festkörpermechanik bei nicht zu großen Verformungen
Visualisierung	Bahnlinie
Ursache der kinematischen Nichtlinearität	Formänderungen des Körpers (geometrische Nichtlinearität)
Zeitableitung	Partielle Ableitung, enthält keinen konvektiven Anteil
Aufwand für Bilanzen von Feldgrößen	gering
Zugeordnete Konfiguration	Ausgangs- und/oder Referenzkonfiguration
Bezeichnung der Variablen in der Kontinuumsmechanik	Großbuchstaben oder Index null
Kinematische Unbekannte	Verschiebungen
Tauglichkeit für Inkompressibilität	eingeschränkt
Tauglichkeit für Randbedingungen an freien Flächen	hoch

Siehe auch

• Eulersche Betrachtungsweise
• Arbitrary Lagrangian Eulerian

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.