Laplace-Formel

Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)

Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ eines Ereignisses $A$:

$P(A)={\frac {{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis }}A{\text{ eintritt}}}{\mathrm {Anzahl\ aller\ m{\ddot {o}}glichen\ Ergebnisse} }}$

oder formeller

$P(A)={\frac {\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}}$,

wenn $|A|$ und $|\Omega |$ die Anzahl der Elemente des Ereignisses $A$ bzw. der Ergebnismenge $\Omega$ bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

Beispiele und Gegenbeispiele

Rouletterad

Urnenmodell

Spielwürfel

Roulette

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit $p={\tfrac {1}{37}}$ ausgespielt.

Ziehen aus einer Urne

Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit $n$ gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit $p={\tfrac {1}{n}}$ gezogen.

Doppelwurf eines Spielwürfels

Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

$\Omega =\{(i,j)\mid i,j=1,\dotsc ,6\}$.

Gleichwahrscheinliche Ereignisse

Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

$P(A)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$, die Augensumme 9 zu erhalten.

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse

Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.

Dies lässt sich mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen.

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Es sei $p_{i}$ die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl $i$ und $q_{i}$ die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl $i$ geworfen wird. Dann ist $p_{1}q_{1}$ die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und $p_{6}q_{6}$ die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten ${\tfrac {1}{11}}$ betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:

${\frac {1}{11}}=p_{1}q_{6}+p_{2}q_{5}+p_{3}q_{4}+p_{4}q_{3}+p_{5}q_{2}+p_{6}q_{1}$

$\geq p_{1}q_{6}+p_{6}q_{1}=p_{1}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{6}}}\right)=p_{1}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)$

$={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+{\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)$

$\Leftrightarrow {\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\leq 1$ (*)

Wegen $x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ für alle reellen Zahlen $x>0$ ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.

Geschlecht eines neugeborenen Kindes

Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.

Siehe auch

• Gleichverteilung
• Indifferenzprinzip

Literatur

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.