Leibnizregel für Parameterintegrale

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Die Leibnizregel für Parameterintegrale erlaubt die Berechnung der Ableitung eines Parameterintegrals nach seinem Parameter.

Gegeben sei das Parameterintegral

wobei die Funktion , , stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ist und stetig differenzierbar sind. Dann ist auf dem offenen Intervall stetig differenzierbar.

Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale[1]:

Zur Herleitung kann man die Funktion definieren und zeigen, dass sie auf stetig differenzierbar ist: existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von und folgen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.

Einzelnachweise

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  1. Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey: Intermediate Calculus. Second Auflage. Springer, New York 1985, ISBN 978-0-387-96058-6, Differentiation under the Integral Sign, S. 421–426, doi:10.1007/978-1-4612-1086-3 (englisch, google.com).