Lelong-Zahl

Lelong-Zahlen sind Invarianten für komplexe Mannigfaltigkeiten sowie Verallgemeinerungen mit Singularitäten. Sie sagt etwas über die lokale Dichte in einem Punkt. Lelong-Zahlen sind das analytische Analogon zur Multiplizität der Algebra und wurden 1957 von Pierre Lelong für Ströme eingeführt.

Besonders wichtig sind die Lelong-Zahlen für sogenannte plurisubharmonische Funktionen $\varphi$, indem man als Strom $\Theta ={\tfrac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\varphi$ setzt, also die Krümmung der zu $\varphi$ gehörenden singulären Metrik $h=e^{-2\varphi }$ betrachtet.

Definition

Sei $\Theta$ ein geschlossener, positiver Strom mit bidimension $(p,p)$ auf einer Koordinatenumgebung $\Omega =\mathbb {C} ^{n}$. Wir definieren das Funktional

$\sigma _{\Theta }=\Theta \wedge {\tfrac {1}{p!}}({\tfrac {\pi }{i}}\partial {\overline {\partial }}|z|^{2})^{p}$

wobei $\wedge$ das Minimum bezeichnet.

Dann definiert man die Lelong-Zahl von $\Theta$ im Punkt $x\in \Omega$ als den Wert

$\nu (\Theta ,x):=\lim _{r\to 0^{+}}\nu (\Theta ,x,r):=\lim _{r\to 0^{+}}{\frac {\sigma _{\Theta }(B(x,r))}{\pi ^{p}r^{2p}/p!}}$.

Mit $E_{c}(\Theta ):=\{x\in X\mid \nu (\Theta ,x)\geq c\}$ bezeichnet man die Niveaumenge von $\Theta$ zum Niveau $c\in [0,\infty ]$.

Wichtige Sätze

Satz von Lelong

1. Sei $\Theta$ ein positiver Strom. Dann ist $r\mapsto \nu (\Theta ,x,r)$ eine nichtnegative wachsende Funktion, insbesondere existiert der Grenzwert für $r\to 0^{+}$.
2. Ist $\Theta ={\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\varphi$ der zu einer plurisubharmonischen Funktion $\varphi$ gehörende $(1,1)$-Strom, dann ist $\nu (\Theta ,x)=\sup\{\gamma \geq 0\mid \varphi (z)\leq \gamma \log \left\vert z-x\right\vert +O(1)\}$.
3. Ist $\varphi =\log |f|$ für ein $f\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und $\Theta ={\tfrac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\varphi =[Z_{f}]$, dann gilt $\nu ([Z_{f}],x)=\operatorname {ord} _{x}(f)=\max\{m\in \mathbb {N} \mid D^{\alpha }f(x)=0,|\alpha |<m\}.$

Ist $h=e^{-2\varphi }$ eine singuläre Metrik für eine plurisubharmonische Funktion $\varphi$, dann schreiben wir auch $\nu (h,x):=\nu (\varphi ,x):=\nu ({\tfrac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\varphi ,x)$. Außerdem folgt aus dem obigen Satz, dass

$\liminf _{z\rightarrow x}{\frac {\phi (z)}{\log |z-x|}}.$

Satz von Thie

Sei $A$ eine analytische Untervarietät von $X$. Dann stimmt die Lelong-Zahl $\nu ([A],x)$ des Integrationscurrent $[A]$ mit der Multiplizität von $A$ in $x$ überein.

Satz von Siu

Sei $\Theta$ ein geschlossener, positiver Strom der Bidimension $(p,p)$ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit $X$. Dann gilt:

1. Die Lelong-Zahl $\nu (\Theta ,x)$ ist invariant unter holomorphem Koordinatenwechsel.
2. Die Menge $E_{c}(\Theta )$ ist eine abgeschlossene analytische Teilmenge von $X$, deren Dimension kleiner als oder gleich $p$ ist.

Literatur

• P. Lelong: Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math France 85 (1957), 239–262.
• P. Thie: The Lelong number of a point of a complex analytic set, Math. Ann. 172 (1967), 269–312.
• Y.-T. Siu: Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents, Invent. Math. 27 (1974), 53–156.
• H. Aust: Einbettung von quasi-projektiven Mannigfaltigkeiten und effektive Resultate, (2009), 9–10.