Lemma von Céa

Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Formulierung

Voraussetzungen

Sei $V$ ein reeller Hilbertraum mit der Norm $\|\cdot \|$. Sei $a\colon V\times V\to \mathbb {R}$ eine Bilinearform, die

• beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. $|a(v,w)|\leq C\|v\|\,\|w\|$ für eine Konstante $C>0$ und alle $v,w\in V$

• und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. $a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}$ für eine Konstante $\alpha >0$ und alle $v\in V$

ist. Sei weiter $L\colon V\to \mathbb {R}$ ein beschränkter linearer Operator.

Problemstellung

Betrachte das Problem, ein $u\in V$ mit

$a(u,v)=L(v)\,$ für alle $v\in V$

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum $V_{h}\subset V$, d. h. es ist ein $u_{h}\in V_{h}$ zu finden mit

$a(u_{h},v)=L(v)\,$ für alle $v\in V_{h}$.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Aussage des Lemmas

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

$\|u-u_{h}\|\leq {\frac {C}{\alpha }}\inf _{v_{h}\in V_{h}}\left(\|u-v_{h}\|\right)$.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung $u_{h}$ aus dem Unterraum $V_{h}$ höchstens um die Konstante ${\tfrac {C}{\alpha }}$ schlechter ist als die beste Approximation für $u$ im Raum $V_{h}$, sie ist quasi-optimal.

Bemerkungen

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf $\textstyle {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}$, der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform $a(\cdot ,\cdot )$ statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu $|a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}$ für alle $v\in V$, man beachte die Betragszeichen um $a(v,v)$.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums $V_{h}$ bestimmt den Approximationsfehler $\|u-u_{h}\|$ stark.

Sonderfall: Symmetrische Bilinearform

Die Energienorm

In vielen Anwendungen ist die Bilinearform $a$ symmetrisch, also $a(v,w)=a(w,v)$ für alle $v,w$ in $V$. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass $a$ ein Skalarprodukt von $V$ ist. Die implizierte Norm $\|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}$ wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm $\|\cdot \|$ des Vektorraums $V$.

Das Lemma von Céa in der Energienorm

Die Unterraum-Lösung $u_{h}$ ist eine Projektion von $u$ auf den Unterraum $V_{h}$ bezüglich des Skalarprodukts $a$.

Aus der Galerkin-Orthogonalität von $u-u_{h}$ mit $V_{h}$ und der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ergibt sich

$\|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}$ für alle $v$ in $V_{h}$.

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:

$\|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}$ für alle $v$ in $V_{h}$.

Man beachte, dass die Konstante ${\tfrac {C}{\alpha }}$ auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung $u_{h}$ die beste Approximation der Lösung $u$ bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich $u_{h}$ als Projektion bezüglich $a$ von $u$ auf den Unterraum $V_{h}$ interpretieren.

Folgerungen

Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm $\|\cdot \|$ des Vektorraums $V$ zeigen. Aus

$\alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq C\|u-v\|^{2}$ für alle $v$ in $V_{h}$

folgt

$\|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}\|u-v\|$ für alle $v$ in $V_{h}$.

Beweis

Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

Galerkin-Orthogonalität

Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung $a(u,v)=L(v)$ für alle $v\in V$ und $a(u_{h},v)=L(v)$ für alle $v\in V_{h}$ werden voneinander abgezogen, was wegen $V_{h}\subset V$ möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet $a(u-u_{h},v)=0$ für alle $v\in V_{h}$ und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Abschätzung

Die Bilinearform $a$ ist koerziv

$\alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})$

Addition von 0, sei $v_{h}\in V_{h}$

$=a(u-u_{h},u-v_{h}+v_{h}-u_{h})$

Mit Bilinearität von $a$

$=a(u-u_{h},u-v_{h})+a(u-u_{h},v_{h}-u_{h})$

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da $v:=v_{h}-u_{h}\in V_{h}$

$=a(u-u_{h},u-v_{h})$

Die Bilinearform $a$ ist stetig

$\leq C\|u-u_{h}\|\|u-v_{h}\|$

Die Gleichung kann durch $\|u-u_{h}\|$ geteilt werden. Da $v_{h}$ beliebig aus $V_{h}$ gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

Literatur

• D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0 (Kapitel II §4.2 und Kapitel III §1.1). 

• Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)