Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von absolut integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.
Sei
, also
eine messbare Funktion mit
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e56bb99df2fafb2436d7847f34bad5eab24e45)
und
die Fourier-Transformierte von
, also
.
Dann verschwindet
im Unendlichen, das heißt
oder formaler, dass es zu jedem
eine reelle Zahl
gibt, so dass
für alle
.[1][2]
Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei
um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit
, so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren:
Die Fourier-Transformation auf
ist eine Abbildung von
nach
.
Der Beweis[1] soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass
stetig ist. Für
liefert die Substitution
,
und wir haben eine zweite Formel für
. Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt
.
Aufgrund der Stetigkeit von
konvergiert
gegen
für alle
und
. Außerdem gilt
.
Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert
also für
gegen 0.
Die Annahme der Stetigkeit von
kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die absolut integrablen stetigen Funktionen dicht in
. Für jedes
und jede Funktion
existiert also eine stetige Funktion
, sodass
gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch
gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet
für
, und da
beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für
.
Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen
verallgemeinern:
Es sei
eine integrable Funktion, das heißt
.
Ist
die Fourier-Transformierte
,
so gilt
für
.[3]
Dabei ist
irgendeine Norm auf dem
, zum Beispiel die euklidische Norm.
Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L1-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C0-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von
mit
identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.[4]
- ↑ a b M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
- ↑ Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
- ↑ Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
- ↑ Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform