Levi-Civita-Körper

Der Levi-Civita-Körper ist ein Körper, der von Tullio Levi-Civita erfunden wurde. Die reellen Zahlen bzw. die komplexen Zahlen sind ein Unterkörper des Levi-Civita-Körpers. Der Levi-Civita-Körper findet Anwendung in der effizienten symbolischen Berechnung von Werten von höheren Ableitungen von Funktionen.

Definition

Grundmenge des Körpers

Die Grundmenge des Levi-Civita-Körpers sind alle Funktionen $x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ (bzw. $x\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {C}$), die einen linksendlichen Träger haben.

Notation

• So wie die reellen Zahlen mit $\mathbb {R}$ abgekürzt werden, kann man den Levi-Civita-Körper mit ${\mathcal {R}}$ oder mit ${\mathcal {C}}$ abkürzen, je nachdem, ob die Grundmenge aus reellen oder komplexen Funktionen besteht.
• Falls $x$ im Levi-Civita-Körper ist und einen nichtleeren Träger hat, so bezeichnet man mit $\lambda (x)$ das Minimum des Trägers, das wegen Linksendlichkeit existiert.
• Man schreibt für $x,y\in {\mathcal {R}}$ bzw. $x,y\in {\mathcal {C}}$ und $r\in \mathbb {Q}$, dass $x=_{r}y:\Leftrightarrow \forall q\in \mathbb {Q} ,q\leq r,x(q)=y(q)$.

Addition

Die Addition von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:

$(x+y)(q):=x(q)+y(q)$

Das additive Inverse lautet wie folgt:

$(-x)(q):=-x(q)$

Das Nullelement lautet:

$0(q):=0\in \mathbb {R}$ bzw. $0(q):=0\in \mathbb {C}$

Multiplikation

Die Multiplikation von zwei Elementen der Grundmenge $x$ und $y$ wird folgendermaßen definiert:

$(x\cdot y)(q):=\sum _{q_{x},q_{y}\in \mathbb {Q} \atop q=q_{x}+q_{y}}x(q_{x})\cdot y(q_{y})$

Einselement

Das Einselement des Levi-Civita-Körpers ist die Funktion

$1(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$.

Multiplikatives Inverses

Wenn $z$ ein Element des Levi-Civita-Körpers ist, so kann man ein multiplikatives Inverses wie folgt konstruieren: Man wählt ${\tilde {z}}(q)=z(q-a)\cdot {\frac {1}{b}}$, wobei $a\in \mathbb {Q}$ die kleinste Zahl mit $z(a)\neq 0$ ist und $b=z(a)$. Wenn der Träger von ${\tilde {z}}$ nur die 0 enthält, dann ist $({\tilde {z}})^{-1}={\tilde {z}}$. Sonst ist $z=y+1$ für ein $y$ im Levi-Civita-Körper und man sucht erst nach einem $x$ mit $(x+1)\cdot (y+1)=1$. Man definiert die Folge $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ durch $y_{0}=y$ und $y_{i+1}=-y\cdot y_{i}-y$. Dann erfüllt $x=\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}$ die gewünschte Eigenschaft. Dann ist $({\tilde {z}})^{-1}=x+1$. Nun findet man das multiplikative Inverse von $z$ durch $z^{-1}(q)={\tilde {z}}^{-1}(q+a)\cdot {\frac {1}{b}}$.

Fixpunktsatz

Die obige Definition des multiplikativen Inversen ergibt sich aus dem Beweis des Fixpunktsatzes (siehe in der ersten Quelle), der garantiert, dass der Limes der Folge $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ existiert und die gewünschte Eigenschaft erfüllt. Der Fixpunktsatz lautet wie folgt:

Sei $q_{M}\in \mathbb {Q}$. Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$ die Menge der Elemente $x$, sodass $\lambda (x)\geq q_{M}$. Sei ferner $f\colon M\to {\mathcal {R}}$ bzw. $f\colon M\to {\mathcal {C}}$ eine Funktion mit den Eigenschaften

• $f(M)\subset M$
• $\exists k\in \mathbb {Q} ,k>0:\forall x_{1},x_{2}\in {\mathcal {R}}$ (bzw. $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {C}}$) $:\forall q\in \mathbb {Q} :x_{1}=_{q}x_{2}\Rightarrow f(x_{1})=_{q+k}f(x_{2})$

Dann existiert genau ein $x\in {\mathcal {R}}$ bzw. $x\in {\mathcal {C}}$, sodass:

$x=f(x)$

Einbettung der reellen bzw. komplexen Zahlen

Um die reellen bzw. komplexen Zahlen in den Levi-Civita-Körper einzubetten, bedient man sich folgender Funktion:

$\Pi \colon \mathbb {R} \to {\mathcal {R}}$ bzw. $\Pi \colon \mathbb {C} \to {\mathcal {C}}$

$\Pi (x)(q)=\left\{{\begin{array}{ll}x&{\mbox{falls }}q=0\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$.

Hierbei wird das Einselement von $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ auf das Einselement von ${\mathcal {R}}$ bzw. ${\mathcal {C}}$ abgebildet. Ferner ist $\Pi$ ein Homomorphismus bezüglich der Addition und der Multiplikation. Daher können die reellen und komplexen Zahlen als Unterkörper des Levi-Civita-Körpers angesehen werden.

Ordnung des reellen Levi-Civita-Körpers

Seien $x,y\in {\mathcal {R}}$. Man sagt $x>y$, wenn $x-y\neq 0$ und $(x-y)(\lambda (x-y))>0$. Dadurch wird der Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen zu einem geordneten Körper.

Mit dieser Ordnung ist zum Beispiel die Zahl

$d(q)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{falls }}q=1\\0&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$

kleiner als jede positive reelle Zahl.

Das Archimedische Axiom ist für den Levi-Civita-Körper nicht erfüllt. Beispielsweise gilt $\forall n\in \mathbb {N} \colon \epsilon \in \mathbb {R} _{+}\Rightarrow n\cdot d<\epsilon$.

Wurzeln

Bezüglich der oben definierten Multiplikation hat jedes $y\in {\mathcal {C}}$ immer genau $n$ verschiedene $n$-te Wurzeln. Für ein $x\in {\mathcal {R}}$ existieren die folgenden Anzahlen von $n$-ten Wurzeln von $x$:

	n ungerade	n gerade
x negativ	1	0
x positiv	1	2
x null	1	1

Betrag

Levi-Civita-Körper der reellen Funktionen

Sei $x\in {\mathcal {R}}$. Der Betrag von x ist definiert durch:

$|x|:=\left\{{\begin{array}{ll}-x&{\mbox{falls }}x<0\\x&{\mbox{sonst }}\end{array}}\right.$

Levi-Civita-Körper der komplexen Funktionen

Sei $x\in {\mathcal {C}},x=a+ib$, wobei $i$ die imaginäre Zahl ist. Der Betrag von x ist definiert durch:

$|x|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Hierbei ist die Wurzel bezüglich der oben definierten Multiplikation des Levi-Civita-Körpers gemeint.

Halbnorm

Sei $r\in \mathbb {Q}$. Dann kann man die folgende Halbnorm auf dem Levi-Civita-Körper definieren:

$\|x\|_{r}=\sup _{q\leq r}|x(q)|$,

wobei $|\cdot |$ der Betrag der reellen bzw. komplexen Zahlen ist.

Topologien

Ordnungstopologie

Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$. Sei

$O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}$ bzw. $O(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {C}}:|x-x_{0}|<\epsilon \}$.

Für die Ordnungstopologie definiert man als offene Menge, sofern

$\forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:O(x_{0},\epsilon )\subset M$.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ zu nichtzusammenhängenden Hausdorff-Räumen.
• Mit dieser Definition von offenen Mengen sind ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ keine lokalkompakten Räume.
• Auf $\mathbb {R}$ stimmt diese Topologie von ${\mathcal {R}}$ mit der diskreten Topologie überein.

Halbnormtopologie

Sei $\|\cdot \|_{r}$ die Halbnorm des Levi-Civita-Körpers. Sei $M\subset {\mathcal {R}}$ bzw. $M\subset {\mathcal {C}}$. Sei

$S(x_{0},\epsilon ):=\{x\in {\mathcal {R}}:\|x-x_{0}\|_{1/\epsilon }<\epsilon \}$.

Für die Halbnormtopologie definiert man M als offene Menge, sofern

$\forall x_{0}\in M:\exists \epsilon >0:S(x_{0},\epsilon )\subset M$.

Diese Topologie hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie macht ${\mathcal {R}}$ und ${\mathcal {C}}$ zu Hausdorff-Räumen mit abzählbaren Basen.
• Die durch sie definierte Topologie ist eingeschränkt auf die reellen bzw. komplexen Zahlen die Standardtopologie.

Derivation

Man kann auf dem Levi-Civita-Körper eine Derivation $\partial$ definieren:

$(\partial x)(q):=(q+1)x(q+1)$

Für diese Derivation gilt:

• $\partial 0=0$
• $\forall x\in {\mathcal {R}},x\neq 0:\lambda (\partial x)=\lambda (x)-1$

Anwendungen

Der Levi-Civita-Körper ermöglicht die effiziente Berechnung höherer Ableitungen von Funktionen wie zum Beispiel

$x\mapsto {\frac {\sin(x^{3}+2x+1)+{\frac {3+\cos(\sin(\ln |1+x|))}{\exp(\tanh(\sinh(\cosh({\frac {\sin(\cos(\tan(\exp(x))))}{\cos(\sin(\exp(\tan(x+2))))}}))))}}}{2+\sin(\sinh(\cos(\tan ^{-1}(\ln(\exp(x)+x^{2}+3)))))}}$.

Es gibt ein auf dem Levi-Civita-Körper basierendes Programm, welches den Wert der 19. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 innerhalb von weniger als einer Sekunde berechnet. Mathematica benötigt hingegen zur Berechnung des Wertes der 6. Ableitung dieser Funktion an der Stelle 0 mehr als 6 Minuten.

Quellen

• Martin Berz: Calculus and Numerics on Levi-Civita Fields. In: Martin Berz, Christian Bischof, George Corliss, Andreas Griewank (Hrsg.): Computational differentiation. Techniques, applications, and tools. Proceedings of the 2nd International Workshop held in Santa Fe, NM, February 12–14, 1996. 1996, ISBN 0-89871-385-4, Kap. 2 (Online [PDF; abgerufen am 6. Juni 2013]). 
• Khodr Shamseddine, Martin Berz: The Differential Algebraic Structure of the Levi-Civita Field and Applications. (Online [PDF; 199 kB; abgerufen am 15. August 2013]).