Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper $M$ und $N$ einer Körpererweiterung $L/K$ linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von $M$, die über $K$ linear unabhängig ist, auch über $N$ linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

$M\otimes _{K}N\to L$

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von $M$ und $N$ ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper $K$, d. h.

$M\cap N=K.$

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen $M/K$ und $N/K$ endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe

• Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann regulär, wenn $L$ linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss ${\bar {K}}$ von $K$ ist.
• Eine Erweiterung $L$ eines Körpers $K$ der Charakteristik $p>0$ ist genau dann separabel, wenn $L$ linear disjunkt zu

$K^{p^{-\infty }}=\{x\in {\bar {K}}\mid \exists n\colon x^{p^{n}}\in K\}$

ist.

Literatur

• Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
• Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26