Homogene lineare Differentialgleichungen sind eine wichtige Klasse linearer Differentialgleichungen. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Form
![{\displaystyle x^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(t)x^{(k)}(t)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21715333add1c5b4fa03ef9a7bfb9b059a7c573d)
Hierbei sind die
vorgegebene Funktionen, etwa auf einem Intervall, und das hochgestellte
steht für die
-te Ableitung nach der Variablen
. Gesucht ist eine Funktion
, die obige Gleichung für alle
auf einem vorgegebenen Definitionsbereich erfüllt.
Die homogene lineare Differentialgleichung
![{\displaystyle x^{\prime }(t)=a(t)x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3622bef282950a05b7ed56cb3d2f2b90eb7ac71)
mit Anfangswert
hat die eindeutige Lösung
.
Für den Fall, dass a konstant ist:
.
Zu einer Differentialgleichung
![{\displaystyle a_{n}x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}x^{\prime }(t)+a_{0}x(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82639627c224c924cd41a9b77f5737a905fde134)
mit
betrachtet man ihr „charakteristisches Polynom“
. Dieses habe die Nullstellen
mit zugehörigen Vielfachheiten
. Dann sind alle Lösungen von der Form
![{\displaystyle x(t)=\sum _{l=1}^{k}\sum _{m=0}^{\nu _{l}-1}c_{lm}t^{m}e^{\lambda _{l}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090354c7ebf9128edc693211724e88e5b1a60caf)
mit Koeffizienten
.
Durch die Substitution
lässt sich die homogene lineare Differentialgleichung
![{\displaystyle a_{n}(t)x^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots +a_{1}(t)x^{\prime }(t)+a_{0}(t)x(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993989a27dc2360754589044f549d365d87afa47)
in das lineare Differentialgleichungssystem
![{\displaystyle x_{1}^{\prime }(t)=x_{2}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b6008ed34e0caa5dc4446709616f45a7a514ca)
![{\displaystyle \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8619532e44ee1ccae3ab03405a6885260d09ed)
![{\displaystyle x_{n-1}^{\prime }(t)=x_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd16d55bdcd08ed868a63b33b7d2d5c92f29bd8d)
![{\displaystyle x_{n}^{\prime }(t)=-{\frac {a_{0}}{a_{n}}}x_{1}(t)-\ldots -{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}x_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2569561ca00a2403b16548238d173bd3ac584b)
überführen. Die Lösungen dieses linearen homogenen Differentialgleichungssystems bilden einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums wird als Fundamentalsystem bezeichnet.
- Die Lösung des Anfangswertproblems
ist
.
- Die Differentialgleichung
hat das charakteristische Polynom
und damit die Lösungen
.