Liouvillesche Formel
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Die liouvillesche Formel (benannt nach Joseph Liouville (1809–1882)) ist eine Identität, welche die Determinante der Fundamentalmatrix eines linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit der Spur der Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe der liouvilleschen Formel kann man beispielsweise die abelsche Identität leicht beweisen.
Aussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein Intervall, stetig und eine Matrixlösung von
das heißt ist differenzierbar mit . Dann gilt für alle die liouvillesche Formel
Folgerungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Insbesondere ist entweder für alle eine reguläre Matrix oder für kein . Im ersteren Fall nennt man eine Fundamentalmatrixlösung oder kurz Fundamentalmatrix. Gilt zudem , so heißt die Hauptfundamentalmatrixlösung in .
- Sei eine feste Matrix. Im Spezialfall der Matrixexponentialfunktion erhält man aus der liouvilleschen Formel
- da Hauptfundamentalmatrixlösung für in ist.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. (Texts in Applied Mathematics, 34) Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.