Logarithmisches Konvergenzkriterium
Das logarithmische Konvergenzkriterium ist ein Konvergenzkriterium der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es gibt hinreichende Bedingungen sowohl für die Konvergenz als auch für die Divergenz von Reihen, deren Glieder eine Folge positiver reeller Zahlen bilden.[1]
Formulierung des Kriterium
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Kriterium besagt folgendes:
Sei eine Zahlenfolge in und sei dabei jede Zahl .
Es sei vorausgesetzt, dass die dazu gebildete Zahlenfolge mit
eigentlich oder uneigentlich konvergiere und dabei den Grenzwert
habe.
Dann gilt:
- (I) Im Falle ist die zugehörige Reihe konvergent:
- .
- (II) Im Falle ist die zugehörige Reihe divergent:
- .
Hinweise zum Beweis
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Beweis beruht auf dem Majoranten- und Minorantenkriterium und darauf, dass die Reihe
für konvergiert und für divergiert.
Dabei kommt für den Konvergenzfall das Integralkriterium zum Tragen sowie die Tatsache, dass dann
ist.[2]
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Für
- hat man
- ,
- was nach dem Kriterium einen Beweis für die Konvergenz der bekannten Reihe
- darstellt.
- Für
- hat man
- ,
- womit das Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe beweist.
Anmerkung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Über den „Zweifelsfall“ sind keine Aussagen hinsichtlich Konvergenz oder Divergenz zu machen. D. h., es können je nach vorgelegter Zahlenfolge beide Fälle eintreten.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969 (MR0349918).
Einzelnachweise und Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969, S. 298–299, 329 (MR0349918).
- ↑ Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969, S. 296–297, 298–299 (MR0349918).