Malfatti-Kreis

Malfatti-Kreis

Die Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem, sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab. Bestimmt sind die Malfatti-Kreise – unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks – durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt.

Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem löse, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die Malfatti-Kreise dieses sogenannte Malfatti’sche Maximierungsproblem, sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z. B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen.

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:

$r_{A}={\frac {r}{2(s-a)}}(s-r-({\overline {IB}}+{\overline {IC}}-{\overline {IA}}))$

$r_{B}={\frac {r}{2(s-b)}}(s-r-({\overline {IC}}+{\overline {IA}}-{\overline {IB}}))$

$r_{C}={\frac {r}{2(s-c)}}(s-r-({\overline {IA}}+{\overline {IB}}-{\overline {IC}}))$

Dabei steht $r$ für den Inkreisradius und $s$ für den halben Dreiecksumfang. $I$ ist der Inkreismittelpunkt und $\omega _{\alpha },\omega _{\beta },\omega _{\gamma }$ sind die drei Winkelhalbierenden.

Geschichtliches

Das Marmor-Problem
Dreieckiges Prisma mit drei einbeschriebenen zylinderförmigen Säulen sowie mit den neun möglichen Berührungspunkten der Malfatti-Kreise

Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie, deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze in seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung.

Frei übersetzt lautet sie:

Aus einem gegebenen rechtwinkligen Prisma aus beliebigem Material, z. B. Marmor, schneide daraus drei [kreisförmige] Zylinder mit der gleichen Höhe wie das Prisma, aber mit dem maximalen Gesamtvolumen, d. h. mit der minimalen Materialverschwendung aus dem Volumen des Prismas.

In seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise, die dem Dreieck einbeschrieben sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:

Freie Übersetzung

Gegeben sei ein Dreieck, konstruiere drei Kreise darin so, dass jeder der Kreise tangential ist (das heißt, sie berühren einen Punkt) mit den anderen zwei und mit zwei Seiten des Dreiecks.

Das wurde allerdings 1992 von W. A. Salgaller und G. A. Los widerlegt, die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben – im Folgenden beschrieben im Abschnitt Konstruktion nach Salgaller und Los.

Bereits 1687 wurde das Malfatti-Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck) und später gaben Jakob Steiner auf rein geometrischem Weg und Alfred Clebsch Lösungen, Letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal). Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung. Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930 mithilfe gleichseitiger Dreiecke sowie Howard W. Eves 1965 durch Untersuchungen anhand schmaler und langer Dreiecke. Im Jahr 1967 wurde sogar von Michael Goldberg in einem Aufsatz gezeigt, dass Malfattis Konstruktion dies in keinem Fall tut. Hierfür erbrachten, wie bereits oben erwähnt, Salgaller und Los 1992 die Lösung. Die Begründung von Salgaller und Los war aber nicht vollständig und auf reine numerische rechnerische Argumenten in manchen Schwerpunkten basiert (wie bei Goldberg 1967). Im Juni 2022 hat Giancarlo Lombardi dazu den ersten geometrisch-analytischen Beweis durchgeführt und somit die Lösung erledigt.

Freie Übersetzung (Teil der Zusammenfassung)

„[...] in der vorliegenden Arbeit wird erstmals ein vollständiger rein analytischer Beweis der Lösung erbracht, insbesondere basierend auf einer Mischung aus synthetischer und analytischer euklidischer Geometrie und auf der Theorie konvexer Funktionen.“

– G. Lombardi: Proving the solution of Malfatti’s marble problem

Geometrische Konstruktionen

Ingmar Lehmann erläutert 2003 diverse Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. Im Folgenden werden daraus vier Methoden im Einzelnen beschrieben.

Konstruktion nach Malfatti

Malfatti-Kreise, Berechnungsskizze

Variante mit vorherigen Berechnungen

„Eine elementargeometrische Konstruktion, die auf vorherige algebraische Berechnungen verzichtet, ist relativ anspruchsvoll.“

– Ingmar Lehmann: 2. Konstruktion der Malfatti-Kreise

Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte $x\;={\overline {AC_{1}}},\;y={\overline {BC_{2}}}$ und $z={\overline {CA_{2}}}$ liefern.

Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:

${\overline {AI}}={\sqrt {r^{2}+s^{2}}},\;\;\;{\overline {BI}}={\sqrt {r^{2}+t^{2}}},\;\;\;{\overline {CI}}={\sqrt {r^{2}+u^{2}}},$

darin bedeuten die Bezeichnungen

$s={\overline {AL_{c}}},\;t={\overline {BL_{c}}}$ und $u={\overline {CL_{a}}}.$

Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte Hilfsstrecke ${\overline {PQ}}$ mit der Länge $m$ zu bestimmen

$m={\frac {1}{2}}\left({\overline {AI}}+{\overline {BI}}+{\overline {CI}}-{\overline {AL_{c}}}-{\overline {BL_{c}}}-{\overline {CL_{a}}}+r\right),$

dann gilt für die oben beschriebenen Tangentenabschnitte

$x={\overline {AC_{1}}}={\overline {AI}}-m,\;\;\;y={\overline {BC_{2}}}={\overline {BI}}-m,\;\;\;z={\overline {CA_{2}}}={\overline {CI}}-m.$

Wird in der Formel für $m$ der Faktor ${\frac {1}{2}}$ den Summanden einzeln zugeordnet

$m={\frac {1}{2}}{\overline {AI}}+{\frac {1}{2}}{\overline {BI}}+{\frac {1}{2}}{\overline {CI}}-{\frac {1}{2}}{\overline {AL_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {BL_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {CL_{a}}}+{\frac {1}{2}}r,$

ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.

Malfatti-Kreise, Konstruktion der Hilfsstrecke ${\overline {PQ}}$

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks $ABC$ mit den Seitenlängen $a,\;b$ und $c$ wird der Mittelpunkt des Inkreises $I$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha },\omega _{\beta }$ und $\omega _{\gamma }$ bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken ${\overline {AI}},{\overline {BI}}$ und ${\overline {CI}}.$ Es folgt das Fällen des Lots von $I$ auf die Strecke ${\overline {BC}}$ mit dem Fußpunkt $L_{a}$ und das Ziehen des Inkreises $k$ um $I$ mit dem Radius ${\overline {IL_{a}}}.$ Das Fällen der Lote von $I$ auf ${\overline {AC}}$ mit dem Fußpunkt $L_{b}$ sowie von $I$ auf ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $L_{c}$ schließt sich an.

Nun wird die Länge $m$ der Hilfsstrecke ${\overline {PQ}}$ folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften ${\frac {1}{2}}{\overline {AI}},\;{\frac {1}{2}}{\overline {BI}}$ und ${\frac {1}{2}}{\overline {CI}}$ addiert, aus deren Summe die Streckenhälften ${\frac {1}{2}}{\overline {AL_{c}}},\;{\frac {1}{2}}{\overline {BL_{c}}}$ und ${\frac {1}{2}}{\overline {CL_{a}}}$ subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius ${\frac {1}{2}}r$ addiert.

Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke ${\overline {PQ}},$ sprich $m,$ mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha },\omega _{\beta }$ und $\omega _{\gamma }$ ab dem Inkreismittelpunkt $I$ übertragen; dies ergibt die Punkte $D,\;E$ und $F.$ Ab den Punkten $D$ und $E$ einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite $c$ und ab $F$ einen Kreisbogen bis auf $a$ geschlagen, ergibt die Punkte $C_{1},\;C_{2}$ und $A_{2}.$ Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten $C_{1},\;C_{2}$ und $A_{2}$ auf die betreffenden Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha },\omega _{\beta }$ und $\omega _{\gamma }$; somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte $M_{A},\;M_{B}$ und $M_{C}.$

Um die Berührungspunkte $B_{2},\;A_{1}$ und $B_{1}$ zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten $M_{A},\;M_{B}$ und $M_{C}$ auf die Dreieckseiten $b,\;a$ und nochmals $b$ zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise $k_{A},\;k_{B}$ und $k_{C}$ mit den Radien $r_{A},\;r_{B}$ und $r_{C}$ einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte $G,\;H$ und $J.$

Somit sind die drei Malfatti-Kreise $k_{A},\;k_{B}$ und $k_{C}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten $C_{1},\;C_{2},\;A_{1},\;A_{2},\;B_{1},\;B_{2},\;G,\;H$ und $J$ konstruiert.

Konstruktion nach Steiner-Petersen

Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:

„Jede der gemeinsamen Tangenten der Malfatti-Kreise berührt zugleich zwei der drei Inkreise der Teildreiecke $\triangle BCI,\;\triangle CAI,\;\triangle ABI,$ wobei $I$ der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks $\triangle ABC$ ist.“

– Ingmar Lehmann: 2.2 Konstruktion nach Steiner-Petersen

Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von $\triangle ABC$ sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke.

Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen) des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist.

Konstruktionsbeschreibung

Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
Hauptschritt (1): Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke $\triangle BCI,\;\triangle CAI,\;\triangle ABI$

(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke $\triangle BCI,\;\triangle CAI,\;\triangle ABI$

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks $ABC$ mit den Seitenlängen $a,\;b$ und $c$ wird der Mittelpunkt des Inkreises $I$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha },\omega _{\beta }$ und $\omega _{\gamma }$ bestimmt. Die Inkreismittelpunkte $M_{P},\;M_{Q}$ und $M_{R}$ der Teildreiecke $\triangle BCI,\;\triangle CAI$ und $\triangle ABI$ erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel $\alpha ,\;\beta ,$ und $\gamma .$ Es folgt das Fällen des Lots von $M_{P}$ auf die Strecke ${\overline {BC}}$ mit dem Fußpunkt $P$ und das Ziehen des Inkreises $k_{P}$ um $M_{P}$ mit dem Radius ${\overline {M_{P}P}}.$ Das Fällen der Lote von $M_{Q}$ auf ${\overline {AC}}$ mit dem Fußpunkt $Q$ sowie von $M_{R}$ auf ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $R$ und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise $k_{Q}$ und $k_{R},$ um ihre Mittelpunkte $M_{Q}$ bzw. $M_{R},$ schließen sich an.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
Hauptschritt (2): Konstruktion der drei Tangenten ${\overline {RZ}},\;{\overline {PX}},\;{\overline {QY}}$

(2) Konstruktion der drei Tangenten ${\overline {RZ}},{\overline {PX}}$ und ${\overline {QY}}$

Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte $R$ mit $M_{P},$ der Halbierung der Strecke ${\overline {RM_{P}}}$ in $M_{1}$ und dem Einzeichnen des Thaleskreises $k_{1}.$ Er schneidet den Inkreis $k_{P}$ in den Punkten $K$ und $L.$ Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt $R$ durch den Berührungspunkt $L$ des Inkreises $k_{P},$ bis sie die Dreieckseite $b$ in $Z$ schneidet.

Im Anschluss daran wird $P$ mit $M_{Q}$ verbunden, die Strecke ${\overline {PM_{Q}}}$ in $M_{2}$ halbiert und der Thaleskreis $k_{2}$ eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis $k_{Q}$ in den Punkten $O$ und $N.$ Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt $P$ durch $N,$ bis sie die Dreieckseite $b$ in $X$ schneidet, liefert den Schnittpunkt $T.$ Da $T$ auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von $Q$ durch $T$ bis auf die Dreieckseite $c$ und den Schnittpunkt $Y.$ Somit ist auch die dritte Tangente ${\overline {QY}}$ ermittelt.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
Hauptschritt (3): Konstruktion der Malfatti-Kreise $k_{A},\;k_{B},\;k_{C}$

(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise $k_{A},\;k_{B}$ und $k_{C}$

Zunächst wird im Dreieck $ARZ$ die Winkelhalbierende $\omega _{\epsilon }$ vom Punkt $R$ bis auf die Winkelhalbierende $\omega _{\alpha }$ eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt $M_{A}$ des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von $M_{A}$ auf die Strecke ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $C_{1}$ und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises $k_{A}$ um $M_{A}$ mit dem Radius ${\overline {M_{A}C_{1}}}.$ Das Fällen der Lote von $M_{A}$ auf ${\overline {AC}}$ mit dem Fußpunkt $B_{2}$ sowie von $M_{A}$ auf die Tangente $RZ$ mit dem Fußpunkt $C'$ schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab $M_{A}$ durch $C'$ bis auf die Winkelhalbierende $\omega _{\beta }$ erzeugt den Mittelpunkt $M_{B}.$ Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises $k_{B}$ um $M_{B}$ mit dem Radius ${\overline {M_{B}C'}}$ werden die Lote von $M_{B}$ auf ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $C_{2},$ von $M_{B}$ auf ${\overline {BC}}$ mit dem Fußpunkt $A_{1}$ sowie von $M_{B}$ auf die Tangente $PX$ mit dem Fußpunkt $A'$ gefällt. Die darauf folgende Linie ab $M_{B}$ durch $A'$ bis auf die Winkelhalbierende $\omega _{\gamma }$ erzeugt den Mittelpunkt $M_{C}.$ Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises $k_{C}$ um $M_{C}$ mit dem Radius ${\overline {M_{C}A'}}.$

Um die Berührungspunkte $A_{2},\;B_{1}$ und $B'$ zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt $M_{C}$ auf ${\overline {BC}},$ von $M_{C}$ auf ${\overline {AC}}$ und der Verbindung des Punktes $M_{A}$ mit $M_{C}.$

Somit sind die drei Malfatti-Kreise $k_{A},\;k_{B}$ und $k_{C}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten $C_{1},\;C_{2},\;A_{1},\;A_{2},\;B_{1},\;B_{2},\;A',\;B'$ und $C'$ konstruiert.

Konstruktion nach Lob und Richmond

Konstruktion nach H. Lob und H. W. Richmond,
gleichseitiges Dreieck mit Inkreis als Teil der Lösung des Maximierungs-Problems

H. Lob und H. W. Richmond veröffentlichten 1930 eine Lösung für das Maximierungs-Problem von Malfatti. Darin wird der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks als ein Kreis von dreien genutzt. Die Bedeckung der Dreiecksfläche durch diese Anordnung der Kreise ist nur marginal größer, nämlich um $\approx 1\,\%$, aber dafür ist die Aufgabe leicht und mit wenig Aufwand darstellbar.

Sie haben damit bewiesen,

„[…] dass die sogenannten Malfatti-Kreise, also jene drei Kreise, die jeweils genau zwei der Dreiecksseiten als Tangenten haben, nicht die maximale Bedeckung eines Dreiecks liefern.“

– Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks $ABC$ mit den gleich langen Seitenlängen $a,\;b$ und $c$ wird der Mittelpunkt des Inkreises $I$ mithilfe der drei Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha },\omega _{\beta }$ und $\omega _{\gamma }$ bestimmt. Es folgt das Fällen des Lots von $I$ auf die Strecke ${\overline {BC}}$ mit dem Fußpunkt $D$ und das Ziehen des Inkreises $k$ um $I$ mit dem Radius ${\overline {ID}};$ die Schnittpunkte sind $E$ mit der Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha }$ und $F$ mit der Winkelhalbierenden $\omega _{\beta }.$ Das Fällen der Lote von $I$ auf ${\overline {AC}}$ mit dem Fußpunkt $G$ sowie von $I$ auf ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $H$ schließt sich an.

Für die kleineren Kreise zieht man (im gleichseitigen Dreieck) zwei Parallelen zur Strecke ${\overline {AB}}$ – eine ab dem Punkt $E$ bis auf die Strecke ${\overline {AC}}$ mit dem Schnittpunkt $J$, die zweite ab dem Punkt $F$ bis auf die Strecke ${\overline {BC}}$ mit dem Schnittpunkt $K.$ Das Errichten des Lots mit dem Fußpunkt $J$ auf die Winkelhalbierende $\omega _{\alpha }$ und das Errichten des Lots auf die Winkelhalbierende $\omega _{\beta }$ mit dem Fußpunkt $K$ ergibt die Mittelpunkte $M_{A}$ und $M_{B}.$ Nun wird ein Kreis um $M_{A}$ mit dem Radius ${\overline {M_{A}E}}$ und ein Kreis um $M_{B}$ mit dem Radius ${\overline {M_{B}F}}$ gezogen. Um die beiden letzten Berührungspunkte zu erhalten, werden abschließend zwei Lote auf ${\overline {AB}}$ gefällt, von $M_{A}$ und von $M_{B}$, dabei ergeben sich die Fußpunkte $L$ und $M.$

Somit sind in das gleichseitige Dreieck die drei Kreise $k,\;k_{A}$ und $k_{B}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten $D,\;E,\;F,\;G,\;H,\;J,\;K,\;L$ und $M$ konstruiert.

Konstruktion nach Goldberg

Michael Goldberg veröffentlichte 1967 einen Aufsatz, in dem er zeigte, dass Malfattis Konstruktion, unabhängig von der Form des Dreiecks, in keinem Fall das Maximierungs-Problem erfüllen kann. Zu diesem Ergebnis kam er – ohne es zu beweisen – durch Untersuchungen anhand unterschiedlicher Formen der Dreiecke, die alle eines gemeinsam hatten: Einer der drei Kreise war stets der Inkreis.

„Die richtige Lösung nutzt stets den Inkreis des Ausgangsdreiecks als einen der drei Kreise, m.a.W., einer der Kreise berührt stets alle drei Seiten des Dreiecks.“

– Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story, S. 3

Konstruktionsbeschreibung

Konstruktion nach Goldberg, unregelmäßiges Dreieck mit Inkreis $k_{1}$ als einem von den drei das Maximierungs-Problem lösenden Kreisen.
Radius ${\overline {SR}}<{\overline {OM}},$ daraus folgt: Der dritte Kreis $k_{3}$ liegt auf der Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha }.$

Nach dem Zeichnen des unregelmäßigen Dreiecks $ABC$ wird der Mittelpunkt $I$ des Inkreises $k_{1}$ mithilfe der zwei Winkelhalbierenden $\omega _{\alpha }$ und $\omega _{\gamma }$ bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken ${\overline {AI}}$ und ${\overline {CI}}.$ Es folgt das Fällen des Lots von $I$ auf die Strecke ${\overline {AB}}$ mit dem Fußpunkt $D$ und das Ziehen des Inkreises $k_{1}$ um $I$ mit dem Radius ${\overline {ID}};$ der Schnittpunkt auf $\omega _{\alpha }$ ist $E.$ Das Fällen der Lote von $I$ auf ${\overline {AC}}$ mit dem Fußpunkt $F$ sowie von $I$ auf ${\overline {BC}}$ mit dem Fußpunkt $G$ schließt sich an.

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises $k_{2}$ wird nun sehr einfach mit zwei Schritten bestimmt. Es bedarf dafür nur einer Senkrechten zur Strecke ${\overline {AI}}$ ab dem Punkt $E,$ die ${\overline {AC}}$ in $H$ schneidet, und einer Winkelhalbierenden des Winkels $AHE.$ Der damit erzeugte Punkt $J$ ist der Mittelpunkt des zweiten Kreises $k_{2}$ mit dem Radius ${\overline {JE}}$ und den Berührungspunkten $K$ und $L$ mit zwei Seiten des Dreiecks.

Um für den dritten und letzten gesuchten Kreis den größtmöglichen Radius zu finden, werden zuerst auf zwei Winkelhalbierenden – auf dreien, falls es die Form des Dreiecks verlangt – mögliche Radien bestimmt. Man erhält sie durch analoge Wiederholung der Konstruktionsschritte des zweiten Kreises $k_{2}$ mit Mittelpunkt $J.$ Die gepunkteten Linien im nebenstehenden Bild zeigen den auf der Winkelhalbierenden $\omega _{\beta }$ konstruierten Radius ${\overline {SR}},$ als Vergleichsmöglichkeit zum Radius ${\overline {OM}}$ auf $\omega _{\alpha }.$ Die Bewertung der beiden Radien ergibt ${\overline {SR}}<{\overline {OM}}$. Daraus folgt: Der Kreis um den Mittelpunkt $O$ ist der gesuchte größtmögliche dritte Kreis $k_{3}$.

Somit sind in das unregelmäßige Dreieck die drei Kreise $k_{1},\;k_{2}$ und $k_{3}$ mit ihren neun möglichen Berührungspunkten $D,\;E,\;F,\;G,\;K,\;L,\;M,\;P$ und $Q$ konstruiert.

Konstruktion nach Salgaller und Los

W. A. Salgaller und G. A. Los veröffentlichten – nach ihrer Lösung 1992 (siehe Geschichtliches) – 1994 im Journal of Mathematical Sciences ihre Lösung des Malfatti’schen Maximierungs-Problems. Darin sind u. a. fünf allgemeine Dreiecke zu sehen, in denen jeweils der Inkreis einer der drei sich nicht überlappenden Kreise ist. Nur in einem Dreieck davon, in Konstruktion nach Goldberg beschrieben, liegen diese drei Kreise auf derselben Winkelhalbierenden.

Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise

• Die Methode nach Malfatti (Bild 1) sowie die Methode nach Steiner-Petersen erreicht

$\left({\sqrt {3}}-{\frac {3}{2}}\right)\cdot \pi \approx 0{,}72910$ oder ca. $72{,}91\,\%.$

• Die Methode nach Lob und Richmond (Bild 2) erreicht

${\frac {11{\sqrt {3}}}{81}}\cdot \pi \approx 0{,}73895$ oder ca. $73{,}90\,\%.$

• Methode mit Inkreis nach Salgaller und Los sowie die Methode nach Goldberg (Bild 3 und Bild 4):

Die Bedeckung der Dreiecksfläche, z. B. als prozentualer Wert, ist von der gewählten Form des Ausgangsdreiecks sowie von der Position der Kreise $k_{2}$ und $k_{3}$ abhängig. Für die dargestellte Formen, mit $A$ für die entsprechenden Flächeninhalte, gilt die Prozentformel:

${\frac {A_{k_{1}}+A_{k_{2}}+A_{k_{3}}}{A{_{\triangle {ABC}}}}}\cdot 100\,\%,$

dies ergibt eine Bedeckung der Dreiecksfläche für das Dreieck in Bild 3 von $\approx 72{,}70\;\%$ bzw. für das Dreieck in Bild 4 von $\approx 76{,}1\;\%.$

• 
  Bild 1: Methode nach Malfatti sowie die Methode nach Steiner-Petersen im gleichseitigen Dreieck, Bedeckung der Dreiecksfläche ca. 72,91 %
• 
  Bild 2: Methode nach Lob und Richmond im gleichseitigen Dreieck, Bedeckung der Dreiecksfläche ca. 73,90 %
• 
  Bild 3: Methode nach Salgaller und Los sowie die Methode nach Goldberg mit Inkreis $k_{1}$; in der dargestellten Form ist die Bedeckung der Dreiecksfläche ca. 72,70 %
• 
  Bild 4: Methode nach Salgaller und Los sowie die Methode nach Goldberg mit Inkreis $k_{1}$; in der dargestellten Form ist die Bedeckung der Dreiecksfläche ca. 76,1 %

Literatur

• Kurt Loeber: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. Inaugural-Dissertation. SUB Göttingen, Göttinger Digitalisierungszentrum, 1914, abgerufen am 4. Oktober 2020. 
• Marco Andreatta, Andras Bezdek, Jan P. Boronski: The Malfatti Problem: two centuries of debate. Mathematical Intelligencer, 2011, Nr. 1.
• Heinrich Dörrie: Malfatti’s Problem in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. Dover, New York 1965, ISBN 0-486-61348-8, S. 147–151.
• Michael Goldberg: On the Original Malfatti Problem (PDF; 553 kB) In Math. Mag. Nr. 40, 1967, S. 241–247.
• Charles Stanley Ogilvy: Excursions in Geometry. Dover, New York 1990, ISBN 0-486-26530-7.
• W. A. Salgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti’s problem. In: Journal of Mathematical Sciences. Band 72, Nr. 4, 1994, S. 3163–3177. 
• Carl Adams: Das Malfattische Problem. Neu gelöst. Steiner, Winterthur 1846 (Digitalisat). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Malfatti Circles. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Malfatti’s Problem. In: MathWorld (englisch).
• Malfatti’s Problem. In: Cut The Knot. Abgerufen am 4. Oktober 2020 (englisch).