Malliavin-Ableitung

Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich des Ergebnisparameters $\omega \in \Omega$. Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und $\Omega$ im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Fréchet-Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhängig von der topologischen Struktur definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt. Der adjungierte Operator der Malliavin-Ableitung ist der Divergenz-Operator, betrachtet man einen L²-Raum und weißes Rauschen, dann nennt man diesen Skorochod-Integral.

Malliavin-Ableitung

Mit $C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. $|f^{(k)}(x)|\leq C(1+|x|^{n})$ für alle $k$ und ein $n$.

Sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und $W$ ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum $H$ und ${\mathcal {F}}:=\sigma (W)$. Definiere die Klasse ${\mathcal {S}}\subset L^{2}(\Omega ;\mathbb {R} )$ glatter Zufallsvariablen der Form

$F=f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))$

für $h_{1},\dots ,h_{n}\in H,\;f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$ und $n\in \mathbb {N}$.

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable $F\in {\mathcal {S}}$ ist die $H$-wertige Zufallsvariable

$DF=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))h_{i}.$

Die Richtungsableitung nach $h\in H$ ist dann definiert als

$D_{h}F=\langle DF,h\rangle _{H}=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}[f(W(h_{1})+\varepsilon \langle h_{1},h\rangle _{H},\dots ,W(h_{n})+\varepsilon \langle h_{n},h\rangle _{H})-f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))].$

Erläuterungen

• Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von $F$ ab.
• Der Operator $D$ ist abschließbar von $L^{p}(\Omega )$ nach $L^{p}(\Omega ;H)$ für $p\geq 1$ und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit $D$ notiert.
• Wir definieren die $k$-te Ableitung als die $H^{\otimes k}$-wertige Zufallsvariable durch die Iteration $D^{k}F:=DD^{k-1}F$.
• Die Domäne von $D^{k}$ in $L^{p}(\Omega )$, d. h. die Vervollständigung von ${\mathcal {S}}$ bezüglich der Malliavin-Sobolew-Norm definiert durch

$\|F\|_{k,p}=\left[\mathbb {E} [|F|^{p}]+\sum \limits _{j=1}^{k}\mathbb {E} [\|D^{j}F\|_{H^{\otimes j}}^{p}]\right]^{1/p},$

notieren wir mit $\mathbb {D} ^{k,p}$. Der Raum wird manchmal auch als Watanabe-Sobolew-Raum bezeichnet.

• Falls $g\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ und $Z=(Z_{1},\dots ,Z_{d})$ mit $\forall j=1,\dots ,d,\;Z_{j}\in \mathbb {D} ^{1,2}$, dann gilt $g(Z)\in \mathbb {D} ^{1,2}$ und die Kettenregel

$Dg(Z)=\sum \limits _{i=1}^{d}\partial _{i}g(Z)DZ_{i}.$

• Für $H=L^{2}(T)$ ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation $L^{2}(\Omega ;H)\cong L^{2}(T\times \Omega )$ und häufig als $\{D_{t}F,t\in T\}$ respektive allgemeiner für $F\in \mathbb {D} ^{k,p}$ mit der Identifikation $L^{2}(\Omega ;H^{\otimes k})\cong L^{2}(T^{k}\times \Omega )$ als $\{D_{t_{1},\dots ,t_{k}}^{k}F,t_{i}\in T\}$ notiert.
• Der adjungierte Operator von $D$ wird Divergenzoperator genannt und üblicherweise mit $\delta$ notiert. Im $L^{2}$-Fall für weißem Rauschen nennt man diesen Skorochod-Integral.
• Durch Tensorierung können wir die Definition auf Hilbert-wertige Variablen ${\mathcal {S}}(V):={\mathcal {S}}\otimes V$ erweitern und erhalten eine Abbildung ${\mathcal {S}}(V)\subset L^{p}(\Omega ;V)$ nach $L^{p}(\Omega ;H^{\otimes k}\otimes V)$.
• Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach-wertigen Operator $D:\mathbb {D} ^{k,p}\to L^{p}(\Omega ;\gamma (H,E))$, wobei $\gamma (H,E)$ das Operator-Ideal der $\gamma$-radonifizierten Operatoren ist.

Beispiele

• Wir betrachten das kanonische Modell $\Omega =C_{0}([0,1];\mathbb {R} )$ und $H=L^{2}([0,1];\mathbb {R} )$ und

$F=f(W(t_{1}),\dots ,W(t_{n})),\quad f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\quad 0\leq t_{1}<\cdots <t_{n}\leq 1$

mit weißem Rauschen

$W(t_{i}):=W(1_{[0,t_{i}]})=\int _{0}^{t_{i}}\mathrm {d} W_{t},$

dann ist die Ableitung in Richtung $h\in H$ gegeben durch

${}{\begin{aligned}\langle DF,h\rangle _{H}&=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))\int _{0}^{t_{i}}h(s)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}F\left(\omega +\varepsilon \int _{0}^{\cdot }h(s)\mathrm {d} s\right){\bigg |}_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}$

Partielle Integration

Sei $F,G\in {\mathcal {S}}$ und $h\in H$, dann gilt

$\mathbb {E} [\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [FW(h)]$

und daraus folgt

$\mathbb {E} [G\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [-F\langle DG,h\rangle _{H}+FGW(h)].$

Literatur

• David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3. 
• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 465–486, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.