Manin-Mumford-Vermutung

In der Mathematik ist die Manin-Mumford-Vermutung ein von Michel Raynaud bewiesener Lehrsatz der arithmetischen Geometrie, der unabhängig von Juri Manin und David Mumford vermutet worden war.

Er besagt, dass für eine über $\mathbb {C}$ definierte abelsche Varietät $A$ und eine Kurve $X\subset A$ vom Geschlecht mindestens $2$, es nur endlich viele Torsionspunkte in $X(\mathbb {C} )$ gibt. Insbesondere erhält man für die Jacobi-Varietät $Jac(C)$ einer algebraischen Kurve $C$, dass im Fall $Jac(C)\not =C$ die Kurve $C\subset Jac(C)$ nur endlich viele Torsionspunkte (für die Gruppenstruktur der Jacobi-Varietät als abelsche Varietät) enthalten kann. (Das war die ursprüngliche Formulierung der Vermutung.)

Allgemeinere Formen der Manin-Mumford-Vermutung sind die Mordell-Lang-Vermutung und die Bogomolow-Vermutung. Der Beweis der Mordell-Lang-Vermutung benötigte die Manin-Mumford-Vermutung zusammen mit der von Faltings bewiesenen Mordell-Vermutung. Die Bogomolow-Vermutung wurde von Ullmo und Zhang bewiesen.

Neben dem ursprünglichen, Arithmetik über Zahlkörpern benutzenden Beweis Raynauds gab es noch mehrere Beweise, darunter solche, die Modelltheorie (Ehud Hrushovski) und o-Minimalität verwenden. Einen fast nur klassische algebraische Geometrie verwendenden Beweis, der auf dem Beweis von Hrushovski basierte, gaben Richard Pink und Damian Rössler. Sie bewiesen die Manin-Mumford-Vermutung auch für abelsche Varietäten über Körpern endlicher Charakteristik.

Literatur

• M. Raynaud: Courbes sur une variété abélienne et points de torsion. Invent. Math. 71, 207–233 (1983).
• J. Oesterlé: Courbes sur une variété abélienne. [D’après M. Raynaud]. Sémin. Bourbaki, 36e année, Vol. 1983/84, Exp. No. 625, Astérisque 121–122, 213–224 (1985).
• P. Tzermias: The Manin-Mumford conjecture: a brief survey. Bull. Lond. Math. Soc. 32, No. 6, 641–652 (2000).