Erste sportliche Erfolge feierte Martín Cuestas im Jahr 2011, als er bei den Südamerikameisterschaften in Buenos Aires in 14:42,75 min den elften Platz im 5000-Meter-Lauf belegte. 2013 siegte er in 1:05:49 h beim Montevideo-Halbmarathon und anschließend belegte er bei den Südamerikameisterschaften in Cartagena in 32:26,63 min den achten Platz im 10.000-Meter-Lauf und wurde in 14:44,62 min Neunter über 5000 m. Bei den Halbmarathon-Weltmeisterschaften 2014 in Kopenhagen erreichte er nach 1:08:12 h Rang 92 und 2015 klassierte er sich bei den Südamerikameisterschaften in Lima mit 32:36,40 min auf dem elften Platz über 10.000 m. 2016 belegte er bei den Ibero-Amerikanischen Meisterschaften in Rio de Janeiro in 13:59,53 min den vierten Platz im 5000-Meter-Lauf und anschließend startete er im Marathonlauf an den Olympischen Sommerspielen ebendort und lief dort nach 2:28:10 h auf Rang 128 ein. 2017 wurde er in 1:06:02 h Zweiter bei den Halbmarathon-Südamerikameisterschaften in Montevideo und bei den Südamerikameisterschaften in Luque belegte er in 14:28,61 min den sechsten Platz über 5000 m. 2021 gewann er dann bei den Südamerikameisterschaften in Guayaquil in 29:47,82 min die Bronzemedaille über 10.000 m hinter dem Brasilianer Daniel do Nascimento und seinem Bruder Nicolás Cuestas. Im Jahr darauf wurde er bei den Ibero-Amerikanischen Meisterschaften in La Nucia in 14:33,01 min 15. über 5000 Meter und 2023 belegte er bei den Südamerikameisterschaften in São Paulo in 14:18,51 min den sechsten Platz und gelangte mit 30:04,90 min auf Rang sieben über 10.000 Meter.
In den Jahren 2010, 2016 und 2022 wurde Cuestas uruguayischer Meister im 10.000-Meter-Lauf.
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