Maximin-Test

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Ein Maximin-Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Anschaulich ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner ist als die jedes weiteren Tests zu einem vorgegebenen Niveau. Vorteil von Maximin-Tests im Vergleich zu beispielsweise gleichmäßig besten Tests ist, dass erstere bereits unter deutlich schwächeren Zusatzannahmen existieren und somit ein handlicheres Optimalitätskriterium liefern.

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge in Nullhypothese und Alternative .

Sei die Menge aller statistischen Tests zum Niveau . Ein heißt ein Maximin-Test zum Niveau , wenn

gilt.

Für fixiertes ist die Trennschärfe des Tests an der Stelle . Somit ist

die untere Schranke der Trennschärfe des Tests und somit die obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zweiter Art zu machen.

Somit ist ein Maximin-Test ein Test, bei dem diese Worst-Case-Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art kleiner oder gleich ist als bei jedem anderen Test.

Die Existenz von Maximin-Tests lässt sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen. Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach-*-Konvergenz in und .

Zentrale Aussage ist, dass wenn ein σ-endliches Maß existiert, so dass oder von diesem Maß dominiert werden, ein Maximin-Test zum Niveau existiert.