McShane-Identität
In der Mathematik ist die McShane-Identität eine Aussage über die Längen kürzester Linien (geschlossener Geodäten) auf hyperbolischen Flächen.
Sie ist unter anderem bemerkenswert, weil sie nicht von der hyperbolischen Metrik abhängt (obwohl Flächen einen hoch-dimensionalen Modulraum hyperbolischer Metriken besitzen), sowie wegen der Anwendungen ihrer verschiedenen Verallgemeinerungen in der höheren Teichmüller-Theorie.
McShane-Identität für hyperbolische Flächen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Torus mit Loch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten](McShane 1991): Für die einfachen geschlossenen Geodäten in einem hyperbolischen Torus mit Loch gilt die Identität
- ,
wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten summiert wird und die Länge der geschlossenen Geodäte bezeichnet.
Beliebige hyperbolische Flächen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten](McShane 1998): Für eine hyperbolische Fläche mit einer Spitze gilt
- ,
wobei über alle diejenigen Paare geschlossener einfacher Geodäten summiert wird, die gemeinsam mit der Spitze eine Hose beranden.
Mirzakhanis Verallgemeinerung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die folgende von Mirzakhani bewiesene Formel diente als Ausgangspunkt für ihre Berechnung des Weil-Petersson-Volumens der Modulräume hyperbolischer Metriken auf (berandeten) Flächen.
Für eine hyperbolische Fläche, deren Randkomponenten geschlossene Geodäten der Längen sind, gilt:
- .
Hierbei ist die erste Summe über alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodäten , die mit eine Hose beranden, die zweite Summe ist über alle geschlossenen einfachen Geodäten , die mit eine Hose beranden. Die Funktionen werden durch die Geometrie der Hosen definiert, eine explizite Formel ist
Andere Lie-Gruppen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für eine quasifuchssche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit homotopieäquivalent zum Torus mit Loch (also eine quasifuchssche Darstellung der freien Gruppe vom Rang 2) gilt ebenfalls die Identität
- ,
wobei über alle geschlossenen einfachen Geodäten in summiert wird. (Bowditch 1997)
Andere Verallgemeinerungen der McShane-Identität existieren für eine Reihe weiterer Darstellungen von Flächengruppen in , zum Beispiel für quasifuchssche Darstellungen freier Gruppen (Akiyoshi-Miyachi-Sakuma), und auch für Hitchin-Darstellungen von Flächengruppen und freien Gruppen in (Labourie-McShane).
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- McShane, Gregory: A remarkable identity for lengths of curves, Ph.D. thesis, Univ. Warwick, Coventry, (1991).
- Bowditch, B. H.: A proof of McShane's identity via Markoff triples. Bull. London Math. Soc. 28 (1996), no. 1, 73–78.
- Bowditch, B. H.: A variation of McShane's identity for once-punctured torus bundles. Topology 36 (1997), no. 2, 325–334.
- McShane, Gregory: Simple geodesics and a series constant over Teichmuller space. Invent. Math. 132 (1998), no. 3, 607–632.
- Akiyoshi, Hirotaka; Miyachi, Hideki; Sakuma, Makoto: Variations of McShane's identity for punctured surface groups. Spaces of Kleinian groups, 151–185, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 329, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
- Mirzakhani, Maryam: Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces. Invent. Math. 167 (2007), no. 1, 179–222.
- Tan, Ser Peow; Wong, Yan Loi; Zhang, Ying: McShane's identity for classical Schottky groups. Pacific J. Math. 237 (2008), no. 1, 183–200.
- Labourie, François; McShane, Gregory: Cross ratios and identities for higher Teichmüller-Thurston theory. Duke Math. J. 149 (2009), no. 2, 279–345.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Bridgeman, Martin; Tan, Ser Peow: Identities on hyperbolic manifolds