Metrischer Maßraum

In der Mathematik ist ein metrischer Maßraum oder mm-Raum (engl.: metric measure spaces) ein Begriff aus der nicht-glatten Analysis, mit dem unter anderem Degenerationen riemannscher Mannigfaltigkeiten erfasst werden.

Ein metrischer Maßraum oder mm-Raum $(X,d_{X},\mu _{X})$ besteht aus einer Menge $X$ mit einer vollständigen, separablen Metrik $d_{X}$ und einem borelschen Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu _{X}\colon {\mathcal {B}}\to [0,1]$, wobei ${\mathcal {B}}$ die borelsche σ-Algebra bezeichnet.

Zwei metrische Maßräume $X$ und $Y$ sind mm-isomorph, wenn es eine Isometrie $f\colon \operatorname {supp} (\mu _{X})\to \operatorname {supp} (\mu _{Y})$ mit Bildmaß $f_{*}\mu _{x}=\mu _{Y}$ gibt.

Eine riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ mit dem riemannschen Abstand $d_{M}$ und dem normierten Volumenmaß $\mu _{M}={\frac {\operatorname {vol} _{M}}{\operatorname {vol} _{M}(M)}}$ ist ein metrischer Maßraum.

Literatur

• M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk