Modulationsraum

In einem Modulationsraum wird die „Größe“ einer Funktion anhand ihres Spektrogramms bestimmt. Anschaulich wird das Spektrogramm in gleich große Abschnitte unterteilt, deren Größe wiederum anhand deren Spektrogramme bestimmt wird; bei einer ähnlichen Beschreibung der Besov-Räume ist die Größe dieser Abschnitte exponentiell anwachsend. Bei Modulationsräumen handelt sich um eine Familie von Banachräumen, in denen eine Funktion mittels ihrer Kurzzeit-Fourier-Transformation mit einer Testfunktion in einem Schwartz-Raum gemessen wird. Ursprünglich von Hans Georg Feichtinger untersucht, erwiesen sich diese Räume als nützlicher Rahmen für die Zeit-Frequenz-Analyse.

Definition

Für $1\leq p,q\leq \infty$, eine nicht-negative Funktion $m(x,\omega )$ auf $\mathbb {R} ^{2d}$ und eine Testfunktion $g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ ist der Modulationsraum $M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ durch

$M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|V_{g}f(x,\omega )|^{p}m(x,\omega )^{p}dx\right)^{q/p}d\omega \right)^{1/q}<\infty \right\}.$

definiert.

Dabei bedeutet $V_{g}f$ die Kurzzeit-Fourier-Transformation von $f$ in Hinblick auf $g$ bei $(x,\omega )$ ausgewertet. Das heißt, $f\in M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ ist äquivalent zu $V_{g}f\in L_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{2d})$. Der Raum $M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ hängt nicht von $g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ ab. Die kanonische Wahl für die Testfunktion ist die Gauß-Funktion.

Feichtinger-Algebra

Der Modulationsraum mit $p=q=1$ und $m(x,\omega )=1$, also $M_{m}^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})=M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ wird auch als Feichtinger-Algebra bezeichnet und wurde von Feichtinger ursprünglich $S_{0}$ genannt, weil es sich um die kleinste Segal-Algebra handelt, die unter Zeit-Frequenzverschiebungen, also kombinierten Translations- und Modulationsoperatoren invariant ist. $M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ ist ein in $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\cap C_{0}(\mathbb {R} ^{d})$ eingebetteter Banachraum und unter der Fouriertransformation invariant. Aus diesem und anderen Gründen ist $M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ ein naheliegender Raum für Testfunktionen in der Zeit-Frequenz-Analyse.