Monogenes Signal

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Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Monogenes Signal

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Es sei d eine natürliche Zahl und eine Funktion. Dann ist das monogene Signal definiert durch

wobei die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Riesz-Transformation

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Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, der Riesz-Transformation ist definiert durch

mit

wobei die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten

Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

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Für ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

Zerlegung in Phase und Amplitude

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Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude ist in diesem Falle definiert durch

der lokale Phasenwinkel durch

die lokale Phasenrichtung durch

und die lokale Phase durch

Beispiel
Testbild Zonenlinse
Lokale Amplitude
Lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = , schwarz = 0)
Lokaler Phasenwinkel

Anwendung in der Bildanalyse

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Fasst man die Funktion als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

  • Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
  • Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.
  • M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144.
  • S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667.

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis