Nöbeling-Raum

Der Nöbeling-Raum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er ist der universelle separable metrische Raum.

Er ist nach Georg Nöbeling benannt.

Konstruktion

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}\subset \mathbb {R} ^{2m+1}$ ist die Menge aller Punkte mit höchstens $m$ rationalen Koordinaten:

${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}:=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2m+1})\in \mathbb {R} ^{2m+1}\colon {\text{Es gibt }}\ 1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m+1}\leq 2m+1\ {\text{ mit }}x_{i_{1}},x_{i_{2}},\ldots ,x_{i_{m+1}}\not \in \mathbb {Q} \right\}$.

Universalität

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ist der universelle m-dimensionale separable metrische Raum, d. h. jeder m-dimensionale separable metrische Raum lässt sich in ${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}$ einbetten.

Eigenschaften

Der m-dimensionale Nöbeling-Raum ist (m-1)-zusammenhängend und (m-1)-lokal zusammenhängend. Das bedeutet

• $\pi _{i}({\mathcal {R}}_{m}^{2m+1})=0$ für $i\leq m-1$, und
• für jede Umgebung $U$ eines Punktes $x\in {\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}$ gibt es eine Umgebung $x\in V\subset U$ mit $\pi _{i}(V)=0$ für $i\leq m-1$.

Starrheit

Jeder m-dimensionale zusammenhängende Raum, der lokal zu ${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}$ homöomorph ist (d. h. zu jedem Punkt gibt es eine zu einer offenen Teilmenge von ${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}$ homöomorphe Umgebung), ist bereits zu ${\mathcal {R}}_{m}^{2m+1}$ homöomorph.

Charakterisierung

Ein topologischer Raum X ist zum m-dimensionalen Nöbeling-Raum homöomorph, wenn er die folgenden Eigenschaften besitzt:

• X ist separabel.
• X hat eine vollständige Metrik.
• X ist m-dimensional.
• X ist (m-1)-zusammenhängend.
• X ist (m-1)-lokal zusammenhängend.
• X erfüllt die Lokalendliche-m-Scheiben-Eigenschaft, d. h. zu jeder offenen Überdeckung $X=\cup U_{i}$ und jeder Folge $f_{n}\colon D^{m}\to X$ gibt es eine Folge $g_{n}\colon D^{m}\to X$, so dass es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung $U_{i}$ mit $U_{i}\cap g_{n}(D^{m})=\emptyset$ für fast alle $n$ gibt und dass es zu jedem $t\in D^{m}$ ein $U_{i}$ mit $f_{n}(t)\in U_{i},g_{n}(t)\in U_{i}$ gibt.

Literatur

• Andrzej Nagórko: Characterization and topological rigidity of Nobeling manifolds (= Memoirs of the American Mathematical Society. 1048 = 223, 2). American Mathematical Society, Providence RI 2013, ISBN 978-0-8218-5366-5, arxiv:math.GT/0602574 (Dissertation).