Nerv-Theorem

Das Nerv-Theorem ist ein Lehrsatz der Topologie. Er gibt ein „kombinatorisches Modell“ des Homotopietyps topologischer Räume durch guten Überdeckungen zugeordnete Simplizialkomplexe.

Aus dem Nerv-Theorem folgt unmittelbar der Isomorphismus zwischen Čech-Homologie und singulärer Homologie von Mannigfaltigkeiten.

Nerv einer Überdeckung

Zu einer Überdeckung $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eines topologischen Raumes $X$ durch offene Mengen $U_{i}$ definiert man ihren Nerv $N({\mathcal {U}})$ als den Simplizialkomplex, dessen Ecken $e_{i}(i\in I)$ den offenen Mengen der Überdeckung entsprechen und in dem die Ecken $e_{i_{0}},\ldots ,e_{i_{k}}$ genau dann einen $k$-Simplex aufspannen, wenn der Durchschnitt der entsprechenden offenen Mengen nichtleer ist: $U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{k}}\not =\emptyset$.

Beispiel: Wenn $\vert X\vert$ die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes $X$ mit Ecken $e_{i}(i\in I)$ und ${\mathcal {U}}$ die Überdeckung von $\vert X\vert$ durch die offenen Sterne $U_{i}$ der Ecken $e_{i}$ ist, dann ist $N({\mathcal {U}})\cong X$.

Nerv-Theorem

Für gute Überdeckungen ${\mathcal {U}}$ parakompakter Räume $X$ ist die geometrische Realisierung von $N({\mathcal {U}})$ homotopie-äquivalent zu $X$.

Literatur

• Kapitel 4G in Allen Hatcher: Algebraic topology (online)
• Karol Borsuk: On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes, Fund. Math. 35, (1948) 217–234
• Jean Leray: L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue, J. Math. Pures Appl. (9) 29 (1950), 1–139
• André Weil: Sur les théorèmes de de Rham, Comment. Math. Helv. 26 (1952), 119–145