Novikov-Vermutung
In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe .
Sie hat zahlreiche Anwendungen in der Chirurgietheorie bei der Klassifikation der Differentialstrukturen zu einem gegebenen Homotopietyp.
Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.
![{\displaystyle \langle L(M),\left[M\right]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5fbd7251d4bb7eeebc0033cb6a11a27df5b760)
Sie würde aus der Baum-Connes-Vermutung oder auch der Borel-Vermutung folgen.
Formulierung der Vermutung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine geschlossene, orientierbare, -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, ihre Fundamentalgruppe und deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse definiert man eine höhere Signatur durch
- ,
![{\displaystyle \sigma _{\alpha }(M):=\langle L(M)\cup f^{*}\alpha ,\left[M\right]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3575d8c849ee82e94563fee1f60aee06755cd04)
wobei die L-Klasse von , das Cup-Produkt, die Fundamentalklasse und die Kronecker-Paarung bezeichnet.
![{\displaystyle \left[M\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba2f6401c881488c77d8c66980ecb95f30de684)
Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.
Bewiesene Fälle
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe bewiesen wurde.
- Novikov bewies seine Vermutung für abelsche Gruppen.
- Kasparow bewies mittels KK-Theorie die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen, insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten.[1]
- Connes und Moscovici bewiesen die Novikov-Vermutung für Gromov-hyperbolische Gruppen.[2] Die im Beweis verwendete Surjektivität des Homomorphismus von beschränkter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen.[3]
- Higson und Kasparow bewiesen die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen, insbesondere für mittelbare Gruppen.[4]
- Yu bewies die Novikov-Vermutung für Gruppen endlicher asymptotischer Dimension[5] und allgemeiner für Gruppen, die grob in den Hilbertraum eingebettet werden können.[6] Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen[7] und auf Untergruppen von [8] zu.
- Hamenstädt bewies, dass Abbildungsklassengruppen exakt („boundary amenable“) sind, woraus für diese und alle ihre Untergruppen die Novikov-Vermutung folgt.[9]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- S. P. Novikov: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
- S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
- M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
- J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
- G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- S. P. Novikov: Novikov conjecture (Scholarpedia)
- Novikov Conjecture (Manifold Atlas)
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.
- ↑ A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.
- ↑ I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.
- ↑ N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.
- ↑ G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.
- ↑ G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).
- ↑ E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.
- ↑ M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.
- ↑ U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.