Ogawa-Integral

Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden (englisch anticipating) Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral

$\int _{0}^{1}W_{1}dW_{t},$

wobei $(W_{t})_{t\in [0,1]}$ der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.

Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.

Ogawa-Integral

Sei

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,
• $W=(W_{t})_{t\in [0,T]}$ ein eindimensionaler Standard-Wienerprozess mit $T\in \mathbb {R} _{+}$,
• ${\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}$ und $\mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}$ die natürliche Filtration,
• ${\mathcal {B}}([0,T])$ die borelsche σ-Algebra,
• $\int f\;dW_{t}$ ist das Itō-Integral (resp. Wiener-Integral),
• $dt$ das Lebesgue-Maß.

Mit $\mathbf {H}$ bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse $X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$, welche ${\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}$-messbar und fast sicher in $L^{2}([0,T],dt)$ sind, das bedeutet

$P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}dt<\infty \right)=1.$

Ogawa-Integral

Sei $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes $L^{2}([0,T],dt)$.

Ein Prozess $X\in \mathbf {H}$ heißt $\varphi$-integrierbar, falls die zufällige Reihe

$\int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }W_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dW_{t}$

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis $\{\varphi _{n}\}$.

Falls $X$ bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von $L^{2}([0,T],dt)$ $\varphi$-integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man $X$ universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren $L^{2}(\Omega ,P)$-Prozessen $Z_{t}$ (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

$\int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }Z_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t},$

sofern die Integrale

$\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t}$

definiert sind.

Erläuterungen

• Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
• Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in () finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Regularität der Orthonormalbasis

Eine Orthonormalbasis $\{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt regulär, falls

$\sup \limits _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)ds\right)^{2}dt<\infty .$

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle $n$ eine endliche $L^{2}([0,T],dt)$-Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

• Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann $\varphi$-integrierbar, wenn $\{\varphi _{n}\}$ regulär ist.
• Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für $L^{2}([0,1],dt)$ existiert.

Weiterführendes

• Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel, eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow.
• Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in () untersucht.

Beziehungen zu anderen Integralbegriffen

• Stratonowitsch-Integral: Sei $X$ ein stetiges $\mathbf {F} ^{W}$-adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.
• Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in () untersucht.

Literatur

• Shigeyoshi Ogawa: Noncausal Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer. Tokyo 2017, doi:10.1007/978-4-431-56576-5.