Die Omega-Konstante
Ω
{\displaystyle \Omega }
ist eine mathematische Konstante, die implizit durch
Ω
e
Ω
=
1
{\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}
mit der Eulerschen Zahl
e
{\displaystyle e}
Ω
=
W
(
1
)
,
{\displaystyle \Omega =W(1),}
wobei
W
{\displaystyle W}
Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung
Ω
{\displaystyle \Omega }
Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.
Die ersten Dezimalstellen von
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
=
0,567
143
290
409
783
872
999
968
662
210
…
{\displaystyle \Omega =0{,}567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\dots }
[ 1]
Ω
=
−
ln
Ω
{\displaystyle \Omega =-\ln \Omega }
Ω
=
ln
1
Ω
{\displaystyle \Omega =\ln {\tfrac {1}{\Omega }}}
Ω
=
e
−
Ω
{\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}
1
Ω
=
e
Ω
{\displaystyle {\tfrac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }}
Ω
{\displaystyle \Omega }
x
↦
e
x
{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
x
↦
1
/
x
{\displaystyle x\mapsto 1/x}
Wenn man einen Potenzturm anlegt, der mit
e
{\displaystyle e}
−
e
{\displaystyle -e}
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
=
e
−
e
−
e
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle \Omega =e^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
Anders formuliert bedeutet dies, dass
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
n
+
1
=
e
−
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}
mit beliebigem Startwert
Ω
0
{\displaystyle \Omega _{0}}
Folge ist.
Die Folge konvergiert mit knapp einer viertel Dezimalstelle (genauer:
Ω
lg
e
{\displaystyle \Omega \lg e}
[ 2]
Ω
=
e
−
1
↑↑
∞
:=
lim
n
→
∞
e
−
1
↑↑
n
{\displaystyle \Omega =e^{-1}\uparrow \uparrow \infty :=\lim _{n\to \infty }e^{-1}\uparrow \uparrow n}
kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung
Ω
=
(
1
/
e
)
(
1
/
e
)
(
1
/
e
)
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle \Omega =(1/e)^{(1/e)^{(1/e)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
zum Ausdruck, dass
Ω
{\displaystyle \Omega }
1
/
e
{\displaystyle 1/e}
[ 3] Quadratisch dagegen konvergiert
Ω
n
+
1
=
1
+
Ω
n
1
+
e
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{n+1}={\tfrac {1+\;\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}}
[ 4]
∫
−
∞
∞
1
(
e
t
−
t
)
2
+
π
2
d
t
=
1
1
+
Ω
=
0,638
103
743
365
110
778
522
407
385
519
…
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1+\Omega }}=0{,}638\,103\,743\,365\,110\,778\,522\,407\,385\,519\dots }
[ 5]
Ω
=
1
π
Re
∫
0
π
ln
e
e
i
t
−
e
−
i
t
e
e
i
t
−
e
i
t
d
t
{\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\!\!\!\ln {\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\,\mathrm {d} t}
[ 6]
Re
{\displaystyle \operatorname {Re} }
Realteil des Integrals gebildet wird.
Ω
{\displaystyle \Omega }
transzendente Zahl .Wäre nämlich
Ω
{\displaystyle \Omega }
algebraische Zahl , wäre nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß
e
−
Ω
{\displaystyle e^{-\Omega }}
e
−
Ω
=
Ω
{\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
↑ Folge A030178 in OEIS
↑ Für Startwert
Ω
0
=
1
,
Ω
1
=
0,367
…
,
Ω
11
=
0,566
414733
…
,
Ω
39
=
0,567
1432903173
…
{\displaystyle \Omega _{0}=1,\ \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{11}=0{,}566414733\ldots ,\ \Omega _{39}=0{,}5671432903173\ldots }
Ω
405
{\displaystyle \Omega _{405}}
↑ Für Startwert
Ω
1
=
0,367
…
,
Ω
11
=
0,566
414733
…
,
Ω
39
=
0,567
1432903173
…
{\displaystyle \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{11}=0{,}566414733\ldots ,\ \Omega _{39}=0{,}5671432903173\ldots }
Ω
405
{\displaystyle \Omega _{405}}
↑ Für Startwert
Ω
1
=
0,367
…
,
Ω
2
=
0,559
53
…
,
Ω
3
=
0,567
132794
…
,
Ω
4
=
0,567
14329038985
…
{\displaystyle \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{2}=0{,}55953\ldots ,\ \Omega _{3}=0{,}567132794\ldots ,\ \Omega _{4}=0{,}56714329038985\ldots }
Ω
8
{\displaystyle \Omega _{8}}
Ω
21
{\displaystyle \Omega _{21}}
↑ Folge A115287 in OEIS
↑ István Mező: An integral representation for the principal branch of Lambert the W function. Abgerufen am 19. November 2018 .
