Orbifaltigkeit

In der Topologie ist eine Orbifaltigkeit (englisch: Orbifold) eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit.

Definition

Wie auch eine Mannigfaltigkeit wird eine Orbifaltigkeit durch lokale Eigenschaften beschrieben. Anders als eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt, wird eine Orbifaltigkeit lokal durch Quotienten von offenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ nach endlichen Gruppenoperationen beschrieben.

Eine $n$-dimensionale Orbifaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum $X$, den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen $U_{i}$, die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes $U_{i}$ gibt es:

• eine offene Teilmenge $V_{i}$ des $\mathbb {R} ^{n}$, welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation $\Gamma _{i}$ ist;
• eine stetige Abbildung $\phi _{i}$ von $V_{i}$ nach $U_{i}$, die invariant unter $\Gamma _{i}$ ist, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Eine Menge von Karten nennt man einen Atlas der Orbifaltigkeit, wenn folgendes gegeben ist:

• Für jede Inklusion $U_{i}\subset U_{j}$ gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus $f_{ij}\colon \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$ und einen $f_{ij}$-äquivarianten Homöomorphismus $\psi _{ij}$ von $V_{i}$ auf eine offene Teilmenge von $V_{j}$ (auch als Verklebeabbildung bezeichnet), der mit den Karten kompatibel ist, d. h.:

$\phi _{j}\psi _{ij}=\phi _{i}$.

Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d. h., zu zwei Verklebeabbildungen $\psi _{ij},\psi _{ij}^{\prime }$ soll es ein $g\in \Gamma _{j}$ mit $\psi _{ij}^{\prime }=g\psi _{ij}$ geben.

Beispiele

• Ein einfaches Beispiel ist eine Identifizierungstopologie für eine Gruppenwirkung mit Fixpunkten. Es sei die reelle Zahlengerade $\mathbb {R}$ durch die Koordinate $x$ parametrisiert. Nun entsteht durch die Identifizierung $x\sim -x$ ein Fixpunkt in $x=0$. Der durch Identifizierung entstehende Quotientenraum ist das einfachste Beispiel einer Orbifaltigkeit.
• Orbifaltigkeiten, die durch Quotientenbildung aus der Wirkung einer endlichen Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit entstehen, heißen gute Orbifaltigkeiten.

Anwendung in der Stringtheorie

Wenn die (10 + 1)-dimensionale heterotische Stringtheorie mit einer unterliegenden Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird, ist man meistens daran interessiert, wann man für $N=1$ eine supersymmetrische Theorie in vier Dimensionen erhält. Sind einige Annahmen gegeben, ergibt sich, dass diese unterliegenden Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sein müssen. Weil die explizite Metrik für fast alle Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht bekannt ist, versucht man Orbifaltigkeiten zu konstruieren, die ein Limes der jeweiligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, wobei hier die Metrik explizit bekannt ist.

Literatur

• William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes 1980. PDF
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Cambridge University Press 2004, ISBN 0521831431
• Katrin Becker, Melanie Becker und John H. Schwarz: String Theory and M-Theory, A modern introduction, Cambridge University Press 2006, ISBN 0521860695
• Suhyoung Choi: Geometric structures on orbifolds and holonomy representations. Geom. Dedicata 104 (2004), 161–199.