Pandigitale Zahl

Eine pandigitale Zahl (aus griechisch παν: „jedes“ und digital im Sinne der Darstellung durch Ziffern) ist eine dezimale ganze Zahl, die jede der zehn Ziffern von 0 bis 9 genau einmal enthält. Die erste Ziffer darf dabei nicht 0 sein.

Pandigitale Zahlen haben weder in der Mathematik noch in irgendeinem Anwendungsgebiet eine wirkliche Bedeutung. Sie werden zumeist als Kuriosität in mathematischen Rätseln nach Art der Lateinischen Quadrate oder der Sudokus verwendet.

Ein Beispiel ist die Zahl 1748592603.

Jede pandigitale Zahl hat die Quersumme 45, ist damit durch 3 und 9 teilbar und kann deshalb keine Primzahl sein:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Es gibt insgesamt 9 · 9! = 3265920 pandigitale Zahlen: Es gibt 9 Möglichkeiten für die erste Stelle (da die Null ausgeschlossen ist), 9 für die zweite (da die erste Ziffer ausgeschlossen ist), 8 für die dritte (die ersten beiden Ziffern dürfen nicht noch einmal verwendet werden), 7 für die vierte usw.

Da alle pandigitale Zahlen durch 3 teilbar sind, enden sie alle bei 153 (narzisstische Zahl), wenn fortlaufend die Summe der Kuben ihrer Dezimalziffern gebildet werden. Beispiel: 9876543210 > 9^3 + 8^3 + 7^3 + 6^3 + 5^3 + 4^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3 + 0^3 = 2025 > 2^3 + 0^3 + 2^3 + 5^3 = 141 > 1^3 + 4^3 + 1^3 = 66 > 6^3 + 6^3 = 432 > 4^3 + 3^3 + 2^3 = 99 > 9^3 + 9^3 = 1458 > 1^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3 = 702 > 7^3 + 0^3 + 2^3 = 351 > 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153 > 1^3 + 5^3 + 3^9 = 153

Alle pandigitale Zahlen generieren mit der Kaprekar-Routine dieselbe Kaprekar-Konstante 9753086421, die ebenfalls eine pandigitale Zahl ist.

Kaprekar-Routine: Beliebige pandigitale Zahl >>> maximale Zahl: 9876543210 - minimale Zahl: 0123456789 = Differenz: 9753086421 >>> maximale Zahl: 9876543210 - minimale Zahl: 0123456789 = Differenz: 9753086421 (Kaprekar-Konstante).

Die ersten pandigitalen Zahlen sind 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978 (Folge A050278 in OEIS).

Multidigital

Eine allgemeinere Definition von pandigitalen Zahlen ist die folgende: Eine Zahl oder ein mathematischer Ausdruck, der jede Ziffer zu einer Basis $n$ genau einmal enthält. In Frankreich werden solche Zahlen auch multidigital genannt, die Zahlen zur Basis 10 decadigital.

Zur Basis 4 ist 1320 eine pandigitale Zahl und 2 + 1 = 3 + 0 eine pandigitale Summe.

Pandigitale Brüche

Pandigitale Brüche sind Brüche, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele:

${\frac {1}{2}}={\frac {7269}{14538}}$ oder ${\frac {1}{3}}={\frac {5832}{17496}}$ oder ${\frac {1}{8}}={\frac {8174}{65392}}$

Pandigitale Formeln

Pandigitale Formel sind Formeln, die die Ziffern 1 bis 9 genau einmal enthalten.

Beispiele:

$(1+9^{-4^{6\cdot 7}})^{3^{2^{85}}}$

approximiert die Zahl Eulersche Zahl e auf 18457734525360901453873570 dezimale Stellen genau.

Besondere pandigitale Zahlen

3.816.547.290 ist die einzige pandigitale Zahl, bei der die ersten n Ziffern (als Zahlen gelesen) jeweils durch n teilbar sind; die erste Ziffer durch 1, die ersten beiden Ziffern durch 2, die ersten drei Ziffern durch 3 usw.:

3	→ durch  1 teilbar
38	→ durch  2 teilbar
381	→ durch  3 teilbar
3816	→ durch  4 teilbar
38165	→ durch  5 teilbar
381654	→ durch  6 teilbar
3816547	→ durch  7 teilbar
38165472	→ durch  8 teilbar
381654729	→ durch  9 teilbar
3816547290	→ durch 10 teilbar

9.814.072.356 ist die größte pandigitale Quadratzahl. Ihre Quadratwurzel ist die Palindromzahl 99066.

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pandigital Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Pandigital Fraction. In: MathWorld (englisch).