Ein Parallelepiped
Ein Parallelepiped oder Spat (früher auch Parallelflach) ist ein geometrischer Körper , der von 6 Parallelogrammen begrenzt wird, von denen je 2 gegenüber liegende kongruent (deckungsgleich) sind und in parallelen Ebenen liegen.
Ein Parallelepiped hat 12 Kanten, von denen je 4 parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und 8 Ecken, in denen diese Kanten in maximal 3 verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.
Quader , bei denen alle Winkel gleich 90° sind, und Rhomboeder , bei denen alle Kanten gleich lang und 3 Innenwinkel gleich sind, sind Spezialfälle des Parallelepipeds. Der Würfel vereinigt beide Spezialfälle in einer Figur. Das Parallelepiped ist ein spezielles Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche .
Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt.
Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren
a
→
,
b
→
,
c
→
{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt ). Das Volumen
V
{\displaystyle V}
ist das Produkt der Grundfläche
G
{\displaystyle G}
(Parallelogramm ) und der Höhe
h
{\displaystyle h}
des Parallelepipeds. Mit
G
=
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
⋅
sin
(
γ
)
=
|
a
→
×
b
→
|
{\displaystyle G=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma )=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|}
, wobei
γ
{\displaystyle \gamma }
der Winkel zwischen
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
und
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
ist, und der Höhe
h
=
|
c
→
|
⋅
|
cos
(
θ
)
|
{\displaystyle h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|}
, wobei
θ
{\displaystyle \theta }
der Winkel zwischen
c
→
{\displaystyle {\vec {c}}}
und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich
V
=
G
⋅
h
=
(
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
⋅
sin
(
γ
)
)
⋅
|
c
→
|
⋅
|
cos
(
θ
)
|
=
|
a
→
×
b
→
|
⋅
|
c
→
|
⋅
|
cos
(
θ
)
|
=
|
(
a
→
×
b
→
)
⋅
c
→
|
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=G\cdot h=(|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma ))\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|\\&=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\end{aligned}}}
Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt . Es kann als Determinante geschrieben werden. Für
a
→
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
T
,
b
→
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
T
,
c
→
=
(
c
1
,
c
2
,
c
3
)
T
{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})^{T},\quad {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T},\quad {\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})^{T}}
ist das Volumen dann:
V
=
|
det
(
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
)
|
{\displaystyle V=\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}\;\right|}
Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:
V
=
a
⋅
b
⋅
c
⋅
1
+
2
⋅
cos
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
⋅
cos
(
γ
)
−
cos
2
(
α
)
−
cos
2
(
β
)
−
cos
2
(
γ
)
{\displaystyle V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}}
Dabei sind
α
=
∠
(
b
→
,
c
→
)
,
β
=
∠
(
a
→
,
c
→
)
,
γ
=
∠
(
a
→
,
b
→
)
{\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})}
die Winkel zwischen den Kanten und
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
die Kantenlängen.
Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei
M
{\displaystyle M}
die 3x3-Matrix , deren Spaltenvektoren die Vektoren
a
→
,
b
→
,
c
→
{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
sind. Dann gilt
V
2
=
(
det
(
M
)
)
2
=
det
(
M
)
⋅
det
(
M
)
=
det
(
M
T
)
⋅
det
(
M
)
=
det
(
M
T
⋅
M
)
=
det
(
a
→
⋅
a
→
a
→
⋅
b
→
a
→
⋅
c
→
b
→
⋅
a
→
b
→
⋅
b
→
b
→
⋅
c
→
c
→
⋅
a
→
c
→
⋅
b
→
c
→
⋅
c
→
)
=
a
2
⋅
b
2
⋅
c
2
⋅
(
1
+
2
⋅
cos
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
⋅
cos
(
γ
)
−
cos
2
(
α
)
−
cos
2
(
β
)
−
cos
2
(
γ
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=(\det(M))^{2}=\det(M)\cdot \det(M)=\det(M^{T})\cdot \det(M)=\det(M^{T}\cdot M)\\&=\det {\begin{pmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{pmatrix}}=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}\cdot (1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma ))\end{aligned}}}
Im letzten Schritt wurden die Gleichungen
a
→
⋅
a
→
=
a
2
,
b
→
⋅
b
→
=
b
2
,
c
→
⋅
c
→
=
c
2
,
a
→
⋅
b
→
=
a
⋅
b
⋅
cos
(
γ
)
,
a
→
⋅
c
→
=
a
⋅
c
⋅
cos
(
β
)
,
b
→
⋅
c
→
=
b
⋅
c
⋅
cos
(
α
)
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=a^{2},\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}=b^{2},\quad {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=c^{2},\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos(\gamma ),\quad {\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=a\cdot c\cdot \cos(\beta ),\quad {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=b\cdot c\cdot \cos(\alpha )}
benutzt.
Körpernetz eines Parallelepipeds
Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen , den 6 Parallelogrammen :
A
=
2
⋅
(
|
a
→
×
b
→
|
+
|
a
→
×
c
→
|
+
|
b
→
×
c
→
|
)
=
2
⋅
a
⋅
b
⋅
sin
(
γ
)
+
2
⋅
a
⋅
c
⋅
sin
(
β
)
+
2
⋅
b
⋅
c
⋅
sin
(
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)\\&=2\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma )+2\cdot a\cdot c\cdot \sin(\beta )+2\cdot b\cdot c\cdot \sin(\alpha )\end{aligned}}}
.
In der Ecke , in der die Vektoren
a
→
,
b
→
,
c
→
{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
zusammentreffen, liegen die Innenwinkel
α
=
∠
(
b
→
,
c
→
)
,
β
=
∠
(
a
→
,
c
→
)
,
γ
=
∠
(
a
→
,
b
→
)
{\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})}
. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder . Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung
cos
(
α
)
=
cos
(
β
)
⋅
cos
(
γ
)
+
sin
(
β
)
⋅
sin
(
γ
)
⋅
cos
(
β
a
)
{\displaystyle \cos(\alpha )=\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )+\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )\cdot \cos(\beta _{a})}
Dabei ist
β
a
{\displaystyle \beta _{a}}
der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen , die am Vektor
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
liegen.
Daraus folgt
β
a
=
arccos
(
cos
(
α
)
−
cos
(
β
)
⋅
cos
(
γ
)
sin
(
β
)
⋅
sin
(
γ
)
)
{\displaystyle \beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)}
Die Flächenwinkel
β
b
{\displaystyle \beta _{b}}
und
β
c
{\displaystyle \beta _{c}}
ergeben sich entsprechend.
Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden.[ 1]
Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln
α
=
∠
(
b
→
,
c
→
)
,
β
=
∠
(
a
→
,
c
→
)
,
γ
=
∠
(
a
→
,
b
→
)
{\displaystyle \alpha =\angle ({\vec {b}},{\vec {c}}),\quad \beta =\angle ({\vec {a}},{\vec {c}}),\quad \gamma =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})}
liegt, gilt
Ω
1
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
θ
s
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
a
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
b
2
)
⋅
tan
(
θ
s
−
θ
c
2
)
)
=
4
⋅
arctan
(
tan
(
α
+
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
−
α
+
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
α
−
β
+
γ
4
)
⋅
tan
(
α
+
β
−
γ
4
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}}
wobei
θ
s
=
α
+
β
+
γ
2
{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}
,
θ
a
=
α
{\displaystyle \theta _{a}=\alpha }
,
θ
b
=
β
{\displaystyle \theta _{b}=\beta }
und
θ
c
=
γ
{\displaystyle \theta _{c}=\gamma }
ist.
Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für
θ
a
=
α
,
θ
b
=
180
∘
−
β
,
θ
c
=
180
∘
−
γ
{\displaystyle \theta _{a}=\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma }
θ
a
=
180
∘
−
α
,
θ
b
=
β
,
θ
c
=
180
∘
−
γ
{\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma }
θ
a
=
180
∘
−
α
,
θ
b
=
180
∘
−
β
,
θ
c
=
γ
{\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=\gamma }
Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit kongruenten Parallelepipeden ausgefüllt werden. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt.
Diese Raumfüllung aus Parallelepipeden bildet ein Gitter . Dieses Gitter enthält parallele Ebenen . Die im Gitter benachbarten Raumwinkel
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
und
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
entsprechen zusammen dem Flächenwinkel
β
a
{\displaystyle \beta _{a}}
. Der volle Flächenwinkel beträgt
2
⋅
π
{\displaystyle 2\cdot \pi }
und der volle Raumwinkel beträgt
4
⋅
π
s
r
{\displaystyle 4\cdot \pi \ \mathrm {sr} }
. Daher gilt
β
a
=
Ω
1
+
Ω
2
2
{\displaystyle \beta _{a}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{2}}{2}}}
. Entsprechend gilt
β
b
=
Ω
1
+
Ω
3
2
{\displaystyle \beta _{b}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{3}}{2}}}
und
β
c
=
Ω
1
+
Ω
4
2
{\displaystyle \beta _{c}={\frac {\Omega _{1}+\Omega _{4}}{2}}}
.
In den Gitterpunkten treffen 8 Raumwinkel zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel, wobei 2 diagonal gegenüber liegende Raumwinkel jeweils gleich sind. Es gilt also
2
⋅
Ω
1
+
2
⋅
Ω
2
+
2
⋅
Ω
3
+
2
⋅
Ω
4
=
4
⋅
π
s
r
{\displaystyle 2\cdot \Omega _{1}+2\cdot \Omega _{2}+2\cdot \Omega _{3}+2\cdot \Omega _{4}=4\cdot \pi \ \mathrm {sr} }
.
Das Parallelotop beziehungsweise n -Parallelotop ist eine Verallgemeinerung des Parallelepipeds im n -dimensionalen Raum . Das zweidimensionale Parallelotop ist das Parallelogramm .
Ein n -Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter einer affinen Abbildung . Der Einheitswürfel
I
n
{\displaystyle I^{n}}
ist eine Menge von Punkten , deren Koordinaten einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen, das heißt
I
n
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∣
0
≤
x
i
≤
1
}
{\displaystyle I^{n}:=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid 0\leq x_{i}\leq 1\right\}}
Das Parallelotop ist ein konvexes Polytop mit
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
Ecken . Für
m
<
n
{\displaystyle m<n}
sind seine m -dimensionalen Seiten selbst m -dimensionale Parallelotope.
↑ Wolfram MathWorld: Spherical Excess