Peanosche Fläche

Modell der peanoschen Fläche in der Dresdener Modellsammlung

In der Mathematik ist die peanosche Fläche der Graph der Funktion

$f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})\ .$

Sie wurde 1899 von Giuseppe Peano als Gegenbeispiel zu einer Vermutung für die Existenz eines lokalen Maximums/Minimums einer Funktion von zwei Variablen angegeben.

Diese Fläche wurde 1920 von Georg Scheffers in seinem Lehrbuch der darstellenden Geometrie als Fläche von Peano bezeichnet. Sie wird auch Peano-Sattel genannt.

Die zu widerlegende Vermutung

Vermutung: Haben die Schnitte des Graphen einer Funktion $f(x,y)$ mit Ebenen durch die $z$-Achse an der Stelle $(0,0)$ alle ein lokales Maximum, so hat auch die Funktion $f$ an der Stelle $(0,0)$ ein lokales Maximum.

Die Fläche von Peano zeigt: Diese Vermutung ist falsch. Dafür genügt es zu zeigen, dass für die Funktion $f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ gilt:

1. Jede Schnittkurve der Fläche mit einer Ebene durch die $z$-Achse besitzt im Punkt $(0,0,0)$ ein lokales Maximum.
2. In jeder Umgebung von $(0,0)$ besitzt $f$ sowohl positive als auch negative Werte.

Peano-Fläche

Eigenschaften der Funktion f

Die Funktion $f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ besitzt folgende Eigenschaften:

1. $f(x,y)=0\;$ auf den Parabeln $y=2x^{2}$ und $y=x^{2}$.
2. $f(x,y)>0\;$ zwischen diesen Parabeln, also für $x^{2}<y<2x^{2}$ (im Bild rosa) und
3. $f(x,y)<0\;$ sonst (im Bild hellblau).
4. Schränkt man $f$ durch $ax+by=0$ mit $a^{2}+b^{2}>0$ ein, so prüft man leicht nach, dass jede solche Einschränkung von $f$ im Nullpunkt $(0,0,0)$ ein lokales Maximum besitzt.
5. Die Funktionswerte entlang der Parabel $y={\sqrt {2}}x^{2}$ (im Bild rot) sind außerhalb des Nullpunktes positiv (!). $f$ hat also im Nullpunkt einen Sattelpunkt. (Für diese Überlegung kann man eine beliebige zwischen den Parabeln verlaufende Kurve verwenden.)

Der übliche Sattelpunkt-Test mit der Determinante der Hessematrix liefert kein Ergebnis, da die Determinante 0 ist.

Weblinks: weitere Modelle der peanoschen Fläche

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