Persistente Homologie

Persistente Homologie ist eine algebraische Methode, um topologische Eigenschaften von Daten zu erkennen.

Daten sind in der Regel als diskrete Punktmengen gegeben und haben insoweit keine interessante Topologie. Man kann ihnen aber ihren Vietoris-Rips-Komplex zukommen lassen, indem man für eine feste Zahl $d$ Punkte vom paarweisen Abstand kleiner $d$ zu Simplizes zusammenfasst. Für sehr kleine $d$ erhält man eine diskrete Menge und für sehr große $d$ einen vollständigen Simplizialkomplex mit trivialer (d. h. zusammenziehbarer) Topologie. Für dazwischenliegende Werte von $d$ können "Löcher" (nichttriviale Elemente in Homologiegruppen) erscheinen und wieder verschwinden. Die "Persistenz" einer Homologieklasse besteht aus Intervallen $(d_{1},d_{2})$: die Homologieklasse erscheint beim Maßstab $d_{1}$ und verschwindet wieder beim Maßstab $d_{2}$. Die Gesamtheit dieser Intervalle nennt man den "Strichcode" der Homologieklasse. Die Strichcodes einer Datenmenge sind stabil unter geringfügigen Störungen der Daten.

Definition

Gegeben sei ein Simplizialkomplex $K$ mit einer Filtrierung

$\emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K$.

Für $0\leq i\leq j\leq n$ induziert die Inklusion $K_{i}\hookrightarrow K_{j}$ einen Homomorphismus $f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H_{p}(K_{j};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ der simplizialen Homologiegruppen für jede Dimension $p$. Man sagt, dass eine Homologieklasse $\alpha \in H_{p}(K_{i};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ in $K_{i}$ geboren wird, wenn sie nicht im Bild von $f_{p}^{i-1,i}$ ist, und man sagt, dass sie in $K_{j}$ stirbt, wenn $f_{p}^{i,j-1}(\alpha )\not =0$ und $f_{p}^{i,j}(\alpha )=0$. Man bezeichnet dann $j-i$ als Persistenz der Homologieklasse $\alpha$ und $\left[i,j\right)$ als ihr Persistenzintervall.

Das Persistenzdiagramm (in Dimension $p$) ordnet jeder Zahl $0\leq k\leq n$ die (Multi-)Menge der Persistenzintervalle $\left[i,j\right)$ von Homologieklassen $\alpha \in H_{p}(K_{k};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ zu.

Literatur

• H. Edelsbruner, J. Harer: Persistent homology—a survey. Surveys on discrete and computational geometry, 257–282, Contemp. Math., 453, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008.
• H. Edelsbrunner, D. Morozov: Persistent homology: theory and practice. European Congress of Mathematics, 31–50, Eur. Math. Soc., Zürich, 2013.