Pick–Matrix

Pick–Matrix ist ein mathematischer Begriff, der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ und dazu $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$ gegeben sind, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {1-{\overline {b_{i}}}b_{j}}{1-{\overline {a_{i}}}a_{j}}}$

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna.

Interpolationsproblem

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna – oder auch Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem (englisch Nevanlinna–Pick interpolation problem) – geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw. 1919 zurück. Es behandelt die folgende Fragestellung:

Gegeben seien $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$.

Zu diesen Zahlen wird eine Funktion $f\in H^{\infty }(\mathbb {D} )$ gesucht, welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfüllen soll:

(i) $f(a_{i})=b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$

(ii) $\|f\|_{\infty }\leq 1$

Interpolationssatz

Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna:

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist lösbar genau dann, wenn die zu diesen $a_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ und $b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ gehörige Pick-Matrix nichtnegativ-definit ist.

Andere Definition

In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F. Donoghue, Jr., wird der Begriff der Pick–Matrix in einer anderen Weise definiert. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ sowie $n$ komplexe Zahlen $z_{i}\in \mathbb {H} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter eine Funktion $\phi \colon \,\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ vorliegen, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {\phi (z_{i})-{\overline {\phi (z_{j})}}}{z_{i}-{\overline {z_{j}}}}}$

hat.

Erläuterungen

1. $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ ist die offene Einheitskreisscheibe.
2. $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ ist die Einheitskreislinie (oder auch Kreisgruppe).
3. $H^{\infty }(\mathbb {D} )$ ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C}$ gehörige Hardy-Raum.
4. $\mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}$ ist die (offene) obere Halbebene.
5. Der Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna lässt sich auf mehreren Wegen herleiten. So gab etwa Donald E. Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis. Zuvor war im Jahre 1967 schon von Donald Erik Sarason gezeigt worden, dass der Pick–Nevanlinna'sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – Theorem im Rahmen der Theorie der beschränkten Operatoren auf Hardy-Räumen ergibt.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 3-0348-9376-0. 
• William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 207). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 3-642-65757-5, doi:10.1007/978-3-642-65755-9 (MR0486556). 
• Donald E. Marshall: An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem. In: Michigan Mathematical Journal. Band 21, 1975, S. 219–223 (MR0364649). 
• R. Nevanlinna: Über beschränkte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen. In: Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A. Band 13, 1919. 
• G. Pick: Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 7–23. 
• Donald Sarason: Generalized interpolation in H^∞. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 127, 1967, S. 179–203. 
• Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces. Introduction to Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2012, ISBN 978-1-61197-230-6 (MR2985156).