Poisson-Transformation

In der Mathematik ist die Poisson-Transformation ein Verfahren zur Konstruktion harmonischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, das in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integral und der Integralkern dessen wird Poisson-Kern genannt. Benannt sind sowohl die Transformation, das Integral und der Integralkern nach dem Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson.

Problemstellung

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis $S^{1}=\partial D^{2}$, gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe $D^{2}$, deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion $f$ übereinstimmen.

Mit anderen Worten: es soll das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung

$\Delta \Phi =0$

auf der Kreisscheibe gelöst werden.

Konstruktion

Der Poisson-Kern ist die durch

$P(x,\xi )={\frac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{2}}}\ \forall x\in D^{2},\xi \in S^{1}$

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern $P$: einer Funktion $f\in L^{\infty }(S^{1})$ wird die auf $D^{2}$ definierte Funktion

$Pf(x)=\int _{S^{1}}f(\xi )P(x,\xi )d\sigma (\xi )\ \forall x\in D^{2}$

zugeordnet, wobei $d\sigma$ das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf $S^{1}$ bezeichnet.

Man kann zeigen, dass $Pf$ eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Bijektion

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf $S^{1}$ und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf $D^{2}$ her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion $f\in L^{\infty }(S^{1})$ gibt es eine eindeutige harmonische Funktion $g\in L^{\infty }(D^{2})$ mit Randwerten $f$.

Die Bijektion erhält die $L^{\infty }$-Norm.

Verallgemeinerungen

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern $P(x,\xi )={\tfrac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{n}}}$ für $x\in D^{n},\xi \in \partial D^{n}=S^{n-1}$.

Literatur

• Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1
• Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)