Potenz-assoziative Algebra

Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definitionen

Für ein Magma ${\mathcal {M}}=(M,\circ )$ und jedes $a\in M$ definiere man

$a^{1}:=a$ sowie $a^{k+1}:=a\circ a^{k}$ für jedes $k\in \mathbb {N}$.

Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt potenz-assoziativ für ein Element $a\in M$, wenn für alle positiven natürlichen Zahlen $i,j\in \mathbb {N} ^{*}$ gilt

$a^{i+j}=a^{i}\circ a^{j}$

Ein Magma ${\mathcal {M}}=(M,\circ )$ nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung $\circ$ potenz-assoziativ ist für jedes $a\in M$.

Die Algebra ${\mathcal {A}}$ heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation $\cdot$ potenz-assoziativ ist, also $({\mathcal {A}},\cdot )$ ein potenz-assoziatives Magma ist.

Beispiele

Potenz-assoziative Magmen

• Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
• Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität: $a^{i+j}=a=a\circ a=a^{i}\circ a^{j}$.
  Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
• Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
  Beweis (per vollständiger Induktion):
  • Induktionsanfang $i=1$: $a^{1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a^{j+1}=a^{1+j}$
  • Induktionsanfang $i=2$: $a^{2}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a)\circ a^{j}{\overset {(2)}{=}}a\circ (a\circ a^{j}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{1+j}{\overset {(1)}{=}}a^{2+j}$
  • Induktionsschritt $i\longrightarrow i+1$ für $i\geq 2$:
    $a^{i+1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ (a\circ a^{i-1}))\circ a^{j}$
    ${\overset {(3)}{=}}(a\circ (a^{i-1}\circ a))\circ a^{j}$
    ${\overset {(4)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ (a\circ a^{j}))$
    ${\overset {(1)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ a^{j+1})$
    ${\overset {(5)}{=}}a\circ a^{(i-1)+(j+1)}=a\circ a^{i+j}{\overset {(1)}{=}}a^{(i+j)+1}=a^{(i+1)+j}$

(1) Definition $a^{n}$

(2) (Links-)Alternativität von $\circ$

(3) Flexibilität (und der daraus folgenden $i$-Potenz-Assoziativität, siehe unten) von $\circ$

(4) Moufang-Identität für $\circ$

(5) Induktionsvoraussetzung

• Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
• Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt $a^{3+2}=a^{3}a^{2}$ bereist aus der Alternativität:
  $a^{3+2}=a^{5}{\overset {(1)}{=}}a(a(a(aa))){\overset {(2)}{=}}a((aa)(aa)){\overset {(3)}{=}}(a(aa))(aa){\overset {(1)}{=}}a^{3}a^{2}$
  1: Definition $a^{n}$
  2: Linksalternativität
  3: Rechtsalternativität

Potenz-assoziative Algebren

• Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.

• Alle alternativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • In einer Algebra folgt aus der Alternativität die Flexibilität der Multiplikation, und außerdem die Erfüllung der Moufang-Identitäten (siehe auch Eigenschaften von Alternativkörpern)!

• Alle $K$-Algebren ${\mathcal {A}}$, in denen es zu jedem $a\in {\mathcal {A}}$ ein $c_{a}\in K$ gibt mit $a\cdot a=c_{a}\cdot a$, sind potenz-assoziativ.
  • Hierzu gehört beispielsweise $\mathbb {R} ^{3}$, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da $a\times a=0$ für alle $a\in \mathbb {R} ^{3}$.
• Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-Assoziativität

Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt $i$-potenz-assoziativ für ein Element $a\in M$, wenn für die positive natürliche Zahl $i\in \mathbb {N} ^{*}$ gilt:

$a^{i}\circ a=a\circ a^{i}$

Ein Magma, dessen Verknüpfung $i$-potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein $i$-potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein $i$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

$a\circ a^{i}{\overset {(1)}{=}}a^{i+1}{\overset {(2)}{=}}a^{i}\circ a^{1}{\overset {(1)}{=}}a^{i}\circ a$

1: Definition $a^{n}$

2: Potenz-Assoziativität von $\circ$

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein $i$-potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

• Induktionsanfang $i=1$ (nur mit Definition $a^{n}$): $a^{1}\circ a=a\circ a=a\circ a^{1}$
• Induktionsschritt $i\longrightarrow i+1$: $a^{i+1}\circ a{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a{\overset {(2)}{=}}a\circ (a^{i}\circ a){\overset {(3)}{=}}a\circ (a\circ a^{i}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{i+1}$

1: Definition $a^{n}$

2: Flexibilität von $\circ$

3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung $\circ$ eines Magmas $(M,\circ )$ heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element $a\in M$, wenn gilt

$a\circ (a\circ a)=(a\circ a)\circ a$.

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein $i$-potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit $i=2$).

Beispiele

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder $i$-potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:

$\circ$	0	1	2
0	2	1	2
1	2	2	0
2	2	0	0

• nicht linksalternativ wegen $0\circ (0\circ 1)=0\circ 1=1\neq 0=2\circ 1=(0\circ 0)\circ 1$
• nicht rechtsalternativ wegen $0\circ (2\circ 2)=0\circ 0=2\neq 0=2\circ 2=(0\circ 2)\circ 2$
• nicht flexibel wegen $1\circ (0\circ 1)=2\neq 0=(1\circ 0)\circ 1$
• nicht potenz-assoziativ wegen $0^{2+2}=0^{4}=0\circ (0\circ (0\circ 0)=2\neq 0=(0\circ 0)\circ (0\circ 0)=0^{2}\circ 0^{2}$
• nicht $i$-potenz-assoziativ für $i\geq 3$ wegen $1\circ 1^{3}=1\circ (1\circ (1\circ 1))=2\neq 1=(1\circ (1\circ 1))\circ 1=1^{3}\circ 1$
• idemassoziativ wegen
  • $0\circ (0\circ 0)=2=(0\circ 0)\circ 0$
  • $1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1$
  • $2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2$

2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch $i$-potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:

$\circ$	0	1	2
0	0	0	0
1	0	0	2
2	0	0	2

• nicht alternativ wegen $1\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(1\circ 1)\circ 2$
• nicht flexibel wegen $2\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(2\circ 1)\circ 2$
• potenz-assoziativ wegen
  • $0^{i+j}=0=0\circ 0=0^{i}\circ 0^{j}$
  • $1^{i+j}=0=0\circ 0=1^{i}\circ 1^{j}$
  • $2^{i+j}=2=2\circ 2=2^{i}\circ 2^{j}$

3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder $i$-potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel: $\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683\neq 7625597484987=3^{27}=3^{\left(3^{3}\right)}$.

Literatur

• Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• R. D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Benediction Classics, 2010, ISBN 1-84902-590-8.