Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus

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Der Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus ist ein Verfahren zur Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems über einer konvexen Teilmenge $S$ eines Hilbertraumes $V$ über der Menge $\Omega$.

Problem

Ein quadratisches Optimierungsproblem ist ein Problem der folgenden Form: Gegeben sei eine konvexe Menge, die durch eine obere Schranke ${\overline {v}}\in V$ beschränkt ist:

$S:=\{v\in V:v(x)\leq {\overline {v}}(x)\forall x\in \Omega \}$

Finde $y\in S$, sodass gilt:

$y={\text{argmin}}_{v\in S}{\frac {1}{2}}a(v,v)-l(v)$.

Hierbei ist $a(\cdot ,\cdot ):V\times V\rightarrow V$ eine symmetrische stetige Bilinearform und $l:V\rightarrow V$ ein stetiger linearer Operator. Siehe auch argmin.

Algorithmus

Der Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus verwendet den Lagrange-Multiplikator $\lambda$, um zu einer Lösung zu gelangen, die sowohl erlaubt als auch optimal ist. Der Algorithmus läuft wie folgt ab:

1. Berechnung der aktiven Menge $A^{(k)}:=\{x\in \Omega :y(x)+\lambda (x)\geq {\overline {v}}(x)\}$ und der inaktiven Menge $I^{k}:=\Omega \setminus A^{(k)}$
2. Lösung des folgenden Problems

   $a(y^{(k)},v)=l(v){\text{ in }}A^{(k)}$

   und

   $y^{(k)}(x)={\overline {v}}(x)\,\forall x\in A^{(k)}$

3. Wenn die Lösung nicht die Lagrangebedingungen erfüllt, wird $k:=k+1$ gesetzt und bei (1) neu begonnen.

Anwendungen

Der Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus findet insbesondere bei der Lösung von restringierten Problemen über partiellen Differentialgleichungen Anwendung, weil die schwache Formulierung einer linearen elliptischen partiellen Differentialgleichung ein quadratisches Optimierungsproblem ist.

Konvergenzeigenschaften

Durch die Betrachtung des Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus als semiglattes Newtonverfahren lässt sich lokal superlineare Konvergenz zeigen. Für einseitig beschränkte konvexe Teilmengen lässt sich die globale Konvergenz des Primal-Dual-Active-Set-Algorithmus über endlich-dimensionalen Hilberträumen zeigen.