Primzerlegung (Topologie)

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet Primzerlegung eine Zerlegung von Mannigfaltigkeiten in "Primkomponenten".

Prim-Mannigfaltigkeiten

Eine geschlossene zusammenhängende $d$-dimensionale Mannigfaltigkeiten $M$ ist eine Prim-Mannigfaltigkeit, wenn sie sich nicht als zusammenhängende Summe zerlegen lässt, also wenn aus

$M=M_{1}\sharp M_{2}$

folgt, dass $M_{1}$ oder $M_{2}$ homöomorph zur Sphäre $S^{d}$ ist.

Prim-Zerlegung

Als Prim-Zerlegung einer geschlossenen zusammenhängenden $d$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ wird eine Zerlegung als zusammenhängende Summe von endlich vielen Prim-Mannigfaltigkeiten bezeichnet, also

$M=M_{1}\sharp \ldots \sharp M_{k}$

mit Prim-Mannigfaltigkeiten $M_{1},\ldots ,M_{k}$ (den Primkomponenten).

Existenz

Aus der Poincaré-Vermutung folgt, dass jede geschlossene zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Primzerlegung besitzt. Tatsächlich lässt sich nach dem Satz von Grushko-Neumann jede endlich erzeugte Gruppe als freies Produkt unzerlegbarer Gruppen zerlegen. Weil (in Dimensionen $d\geq 3$) die Fundamentalgruppe der zusammenhängenden Summe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der einzelnen Summanden ist, kann man dann jede 3-Mannigfaltigkeit als zusammenhängende Summe endlich vieler Mannigfaltigkeiten nichttrivialer Fundamentalgruppe mit (a priori) weiteren einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten zerlegen, letztere müssen aber nach der Poincaré-Vermutung homöomorph zur Sphäre sein.

Im Fall 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten war die Existenz einer Prim-Zerlegung bereits 1924, also lange vor dem Beweis der Poincaré-Vermutung, von Kneser bewiesen worden. Seine Methoden wurden später von Haken zum Beweis der Endlichkeit von Hierarchien inkompressibler Flächen in Haken-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Kneser bewies, dass sich jede Zerlegung der Fundamentalgruppe einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit als freies Produkt $\pi _{1}M=\Gamma _{1}*\Gamma _{2}$ durch eine zusammenhängende Summe $M=M_{1}\sharp M_{2}$ mit $\pi _{1}M_{i}=\Gamma _{i},i=1,2$ realisieren lässt. Das analoge Problem in höheren Dimensionen war als Kneser-Vermutung bekannt, es gibt aber in allen Dimensionen $d\geq 4$ Gegenbeispiele zu dieser Vermutung.

Die Prim-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle in der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten. Eine 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann prim, wenn sie entweder irreduzibel oder ein $S^{2}$-Bündel über $S^{1}$ ist.

Eindeutigkeit

Die Prim-Zerlegung geschlossener, orientierbarer 3-Mannigfaltigkeiten ist eindeutig (bis auf Umordnen und Homöomorphismen), das wurde 1962 von Milnor bewiesen.

In höheren Dimensionen gilt die Eindeutigkeit nicht, zum Beispiel ist

$\mathbb {C} P^{2}\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}\simeq (S^{2}\times S^{2})\sharp {\overline {\mathbb {C} P^{2}}}$.

Auch für nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt die Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht, Gegenbeispiele gibt es bereits in Dimension 2.

Literatur

• Hellmuth Kneser: Ein topologischer Zerlegungssatz. Proc. Konink. Nederl. Akad. Wetensch. 27 (1924), 601–616.
• John Milnor: A unique decomposition theorem for 3-manifolds. Amer. J. Math. 84 (1962), 1–7.

Weblinks

• Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology (PDF; 385 kB) 2000 (englisch).