Projektive Basis

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von $n+2$ Punkten eines $n$-dimensionalen projektiven Raums, von denen je $n+1$ projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

Definition

Ein $(n+1)$-Tupel $(P_{0},\ldots P_{n})$ von Punkten eines projektiven Raums $P(V)$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• Es gibt linear unabhängige Vektoren $v_{0},\ldots ,v_{n}\in V$ mit $P_{i}=K\,v_{i}$ für $i=0,\ldots ,n$.
• Jedes $(n+1)$-Tupel $(v_{0},\ldots ,v_{n})$ von Vektoren aus $V$ mit $P_{i}=K\,v_{i}$ für $i=0,\ldots ,n$ ist linear unabhängig.
• Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt $\dim(P_{0}\vee P_{1}\vee \ldots \vee P_{n})=n$.

Ein $(n+2)$-Tupel $(P_{0},\ldots P_{n+1})$ von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je $n+1$ Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann $\dim P(V)=n$.

Spezialfälle

• $n=1$: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
• $n=2$: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
• $n=3$: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis

Die projektive Standardbasis $(E_{0},\ldots ,E_{n+1})$ im projektiven Standardraum $KP^{n}$ besteht aus den von den Standard-Basisvektoren $e_{0},\ldots ,e_{n}$ des Koordinatenraums $K^{n+1}$ erzeugten Punkten

$E_{i}=K\,e_{i},~i=0,\ldots ,n$,

zusammen mit dem Einheitspunkt

$E_{n+1}=K\,\left(e_{0}+\ldots +e_{n}\right)$.

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

• In der projektiven Gerade $KP^{1}$ über einem Körper $K$ bilden die $3$ Punkte $\left[1:0\right],\left[0:1\right]$ und $\left[1:1\right]$ die projektive Standardbasis.
• In der projektiven Ebene $KP^{2}$ über einem Körper $K$ bilden die $4$ Punkte $\left[1:0:0\right],\left[0:1:0\right],\left[0:0:1\right]$ und $\left[1:1:1\right]$ die projektive Standardbasis.

$\ldots$

• Im $n$-dimensionalen projektiven Raum $KP^{n}$ über einem Körper $K$ bilden die $n+2$ Punkte $\left[1:0:\ldots :0\right],\left[0:1:\ldots :0\right],\ldots ,\left[0:0:\ldots :1\right]$ und $\left[1:1:\ldots :1\right]$ die projektive Standardbasis.

Verwendung

Ist $(P_{0},\ldots ,P_{n+1})$ eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums $P(V)$, dann gibt es eine Basis $(v_{0},\ldots ,v_{n})$ von $V$, sodass

$P_{0}=K\,v_{0},\ldots ,P_{n}=K\,v_{n}~{\text{und}}~P_{n+1}=K\,\left(v_{0}+\ldots +v_{n}\right)$

gilt. Sind nun $P(V)$ und $P(W)$ zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen $(P_{0},\ldots ,P_{n+1})$ und $(Q_{0},\ldots ,Q_{n+1})$, dann gibt es genau eine projektive Abbildung $f\colon P(V)\to P(W)$, sodass

$f(P_{i})=Q_{i}$

für $i=0,\ldots ,n+1$ gilt. Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe $(n+1)\times (n+1)$ beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum $P(V)$ mit der projektiven Basis $(P_{0},\ldots ,P_{n+1})$ mit Hilfe der projektiven Abbildung

$KP^{n}\to P(V),E_{i}\mapsto P_{i}~{\text{für}}~i=0,\ldots ,n+1$

homogene projektive Koordinaten definieren.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142.