In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis
Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von
n
+
2
{\displaystyle n+2}
Punkten eines
n
{\displaystyle n}
-dimensionalen projektiven Raums , von denen je
n
+
1
{\displaystyle n+1}
projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.
Ein
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-Tupel
(
P
0
,
…
P
n
)
{\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n})}
von Punkten eines projektiven Raums
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
über einem
K
{\displaystyle K}
-Vektorraum
V
{\displaystyle V}
heißt projektiv unabhängig , wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:
Es gibt linear unabhängige Vektoren
v
0
,
…
,
v
n
∈
V
{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{n}\in V}
mit
P
i
=
K
v
i
{\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}
für
i
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle i=0,\ldots ,n}
.
Jedes
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-Tupel
(
v
0
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}
von Vektoren aus
V
{\displaystyle V}
mit
P
i
=
K
v
i
{\displaystyle P_{i}=K\,v_{i}}
für
i
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle i=0,\ldots ,n}
ist linear unabhängig.
Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt
dim
(
P
0
∨
P
1
∨
…
∨
P
n
)
=
n
{\displaystyle \dim(P_{0}\vee P_{1}\vee \ldots \vee P_{n})=n}
.
Ein
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)}
-Tupel
(
P
0
,
…
P
n
+
1
)
{\displaystyle (P_{0},\ldots P_{n+1})}
von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je
n
+
1
{\displaystyle n+1}
Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann
dim
P
(
V
)
=
n
{\displaystyle \dim P(V)=n}
.[ 1]
n
=
1
{\displaystyle n=1}
: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
n
=
2
{\displaystyle n=2}
: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck .
n
=
3
{\displaystyle n=3}
: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.
Die projektive Standardbasis
(
E
0
,
…
,
E
n
+
1
)
{\displaystyle (E_{0},\ldots ,E_{n+1})}
im projektiven Standardraum
K
P
n
{\displaystyle KP^{n}}
besteht aus den von den Standard-Basisvektoren
e
0
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{n}}
des Koordinatenraums
K
n
+
1
{\displaystyle K^{n+1}}
erzeugten Punkten
E
i
=
K
e
i
,
i
=
0
,
…
,
n
{\displaystyle E_{i}=K\,e_{i},~i=0,\ldots ,n}
,
zusammen mit dem Einheitspunkt
E
n
+
1
=
K
(
e
0
+
…
+
e
n
)
{\displaystyle E_{n+1}=K\,\left(e_{0}+\ldots +e_{n}\right)}
.[ 2]
In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:
In der projektiven Gerade
K
P
1
{\displaystyle KP^{1}}
über einem Körper
K
{\displaystyle K}
bilden die
3
{\displaystyle 3}
Punkte
[
1
:
0
]
,
[
0
:
1
]
{\displaystyle \left[1:0\right],\left[0:1\right]}
und
[
1
:
1
]
{\displaystyle \left[1:1\right]}
die projektive Standardbasis.
In der projektiven Ebene
K
P
2
{\displaystyle KP^{2}}
über einem Körper
K
{\displaystyle K}
bilden die
4
{\displaystyle 4}
Punkte
[
1
:
0
:
0
]
,
[
0
:
1
:
0
]
,
[
0
:
0
:
1
]
{\displaystyle \left[1:0:0\right],\left[0:1:0\right],\left[0:0:1\right]}
und
[
1
:
1
:
1
]
{\displaystyle \left[1:1:1\right]}
die projektive Standardbasis.
…
{\displaystyle \ldots }
Im
n
{\displaystyle n}
-dimensionalen projektiven Raum
K
P
n
{\displaystyle KP^{n}}
über einem Körper
K
{\displaystyle K}
bilden die
n
+
2
{\displaystyle n+2}
Punkte
[
1
:
0
:
…
:
0
]
,
[
0
:
1
:
…
:
0
]
,
…
,
[
0
:
0
:
…
:
1
]
{\displaystyle \left[1:0:\ldots :0\right],\left[0:1:\ldots :0\right],\ldots ,\left[0:0:\ldots :1\right]}
und
[
1
:
1
:
…
:
1
]
{\displaystyle \left[1:1:\ldots :1\right]}
die projektive Standardbasis.
Ist
(
P
0
,
…
,
P
n
+
1
)
{\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}
eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
, dann gibt es eine Basis
(
v
0
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{n})}
von
V
{\displaystyle V}
, sodass
P
0
=
K
v
0
,
…
,
P
n
=
K
v
n
und
P
n
+
1
=
K
(
v
0
+
…
+
v
n
)
{\displaystyle P_{0}=K\,v_{0},\ldots ,P_{n}=K\,v_{n}~{\text{und}}~P_{n+1}=K\,\left(v_{0}+\ldots +v_{n}\right)}
gilt.[ 2] Sind nun
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
und
P
(
W
)
{\displaystyle P(W)}
zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen
(
P
0
,
…
,
P
n
+
1
)
{\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}
und
(
Q
0
,
…
,
Q
n
+
1
)
{\displaystyle (Q_{0},\ldots ,Q_{n+1})}
, dann gibt es genau eine projektive Abbildung
f
:
P
(
V
)
→
P
(
W
)
{\displaystyle f\colon P(V)\to P(W)}
, sodass
f
(
P
i
)
=
Q
i
{\displaystyle f(P_{i})=Q_{i}}
für
i
=
0
,
…
,
n
+
1
{\displaystyle i=0,\ldots ,n+1}
gilt.[ 2] Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)\times (n+1)}
beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum
P
(
V
)
{\displaystyle P(V)}
mit der projektiven Basis
(
P
0
,
…
,
P
n
+
1
)
{\displaystyle (P_{0},\ldots ,P_{n+1})}
mit Hilfe der projektiven Abbildung
K
P
n
→
P
(
V
)
,
E
i
↦
P
i
für
i
=
0
,
…
,
n
+
1
{\displaystyle KP^{n}\to P(V),E_{i}\mapsto P_{i}~{\text{für}}~i=0,\ldots ,n+1}
homogene projektive Koordinaten definieren.[ 3]
↑ Gerd Fischer: Analytische Geometrie . 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142 .
↑ a b c Gerd Fischer: Analytische Geometrie . 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143 .
↑ Gerd Fischer: Analytische Geometrie . 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144 .