Prozent

Hilfsmaßeinheit
Einheitenname	Prozent
Einheitenzeichen
Formelzeichen
Typ	Quotient
Definition
Benannt nach	italienisch per cento, „für hundert, vom Hundert“
	Siehe auch: Promille, ppm, ppb

Zahlenangaben in Prozent (von lateinisch-italienisch per cento „von Hundert, Hundertstel“)^[1] sollen Größenverhältnisse veranschaulichen und vergleichbar machen, indem die Größen zu einem einheitlichen Grundwert (Hundert) ins Verhältnis gesetzt werden. Daher wird das Prozent auch als Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen verwendet. Vor allem ältere Gesetzestexte verwenden den Ausdruck „vom Hundert“^[2] (abgekürzt: „vH“ oder „v. H.“); das Deutsche Institut für Normung empfiehlt jedoch, diesen Ausdruck zu vermeiden.^[3]

Prozentangaben werden durch das Prozentzeichen % kenntlich gemacht (zum Beispiel 63,7 %). Laut DIN 5008 wird dabei zwischen der Zahl und dem Prozentzeichen ein Leerzeichen gesetzt. Eine Prozentangabe kann als Bruch (19 % = 19/100) oder als Dezimalzahl (19 % = 0,19) aufgefasst werden.

Definition

Ein Prozent ist ein Hundertstel. Mit dem Zeichen % für „Prozent“ gilt also nach Definition

1\,\%={\frac {1}{100}}

.

Entsprechend ist

p\,\%=p\cdot {\frac {1}{100}}={\frac {p}{100}}

.

Beispiele

Hundert Prozent sind Eins:
$100\,\%={\frac {100}{100}}=1$ .
75 Prozent sind drei Viertel:
$75\,\%={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}=0{,}75$ .
50 Prozent sind die Hälfte:
$50\,\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}=0{,}5$ .

Begriffe

Prozentangaben beschreiben Größenverhältnisse und beziehen sich dabei auf einen Grundwert $G$ . Der Grundwert ist die Ausgangsgröße, auf die sich der Prozentsatz $p\,\%$ bezieht. Der Prozentfuß $p$ (auch Prozentzahl genannt) gibt an, wie viele Hundertstel des Grundwertes die Prozentangabe beträgt und bezeichnet so ein Größenverhältnis relativ zum Grundwert. Die absolute Bestimmung dieser Größe nennt man Prozentwert $W$ . Der Prozentwert hat dieselbe Einheit wie der Grundwert.^[4]

Es gilt die Grundformel

{\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}={\frac {\text{Prozentsatz}}{100\%}}

, also

{\frac {W}{G}}={\frac {p}{100}}

(1)

Das ergibt umgeformt:

$W={\frac {G\cdot p}{100}}\qquad$	(2)
$p={\frac {W\cdot 100}{G}}\qquad$	(3)
$G={\frac {W\cdot 100}{p}}\qquad$	(4)
${\frac {G\cdot p}{W}}=100\qquad$	(5; Prüfformel)

Beispiel:

\underbrace {7{.}350\,\overbrace {\text{Einwohner}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Prozentwert}}{\text{ sind }}\underbrace {\overbrace {\underbrace {49} _{\text{Prozentfuß}}\,{\text{Prozent}}} ^{{\frac {49}{100}}=0{,}49}} _{\text{Prozentsatz}}{\text{ }}\underbrace {\text{von}} _{\text{mal}}{\text{ }}\underbrace {15{.}000\,\overbrace {\text{Einwohnern}} ^{\text{Einheit}}} _{\text{Grundwert}}.

Der Begriff „Prozentsatz“ wird in der Literatur unterschiedlich verwendet. Einige Autoren verwenden ihn für den Ausdruck $p\,\%$ , andere verwenden ihn für den Ausdruck $p$ .^[5] Einige Autoren verwenden um der besseren Unterscheidung willen die Begriffe Prozentfuß für den Ausdruck $p$ und Prozentsatz für den Ausdruck $p\,\%$ .^[6]^[4]

Verständnis

Für die Übertragung von Texten in Berechnungen ist ein präzises Verständnis erforderlich. Prozentangaben erfüllen die gleiche Funktion wie die Formulierungen „ein Halbes“ oder „ein Viertel“. Dabei bedeutet „ein Halbes“ das Gleiche wie „50 Prozent“ und „ein Viertel“ das Gleiche wie „25 Prozent“. Prozentangaben können darüber hinaus auch feinere Mengenverhältnisse ausdrücken als die in der Alltagssprache gängigen Formulierungen, zum Beispiel „23 Prozent“, was 23 Hundertstel eines Grundwertes entspricht.

Genau wie „ein Halbes“ oder „ein Viertel“ drückt eine Prozentangabe ein Verhältnis zu einem Grundwert aus: ein Halbes von welchem Grundwert? = 50 Prozent von welchem Grundwert?

Steigerung und Verminderung

Hier muss sprachlich zwischen den Ausdrücken „um“ und „auf“ unterschieden werden:

Eine Angabe, dass eine Größe um p Prozent gestiegen ist, entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor $St=1+{\tfrac {p}{100}}\,,$ welcher wiederum als Prozentsatz ausgedrückt werden kann:

1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%+p\,\%\,.

Also bedeutet eine Steigerung um beispielsweise fünf Prozent eine Multiplikation mit dem Faktor $1{,}05\,.$ Eine Angabe, dass eine Größe auf p Prozent gestiegen ist, bezieht sich hingegen direkt auf den Faktor, bei $1{,}05$ also eine Steigerung auf $105\,\%\,.$

Analoges gilt für eine Verringerung. Eine Verringerung um p Prozent entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor : $F=1-{\tfrac {p}{100}}\,,$ als Prozentsatz ausgedrückt also

1+{\tfrac {p}{100}}=100\,\%-p\,\%\,.

Eine Verringerung um fünf Prozent ist eine Multiplikation mit dem Faktor $0{,}95$ , also eine Verringerung auf 95 Prozent.

Vergleicht man Prozentwerte, kann man dies in Prozentpunkten oder in Prozent vom Ausgangsprozentsatz ausdrücken. Beispiel: Das Wahlergebnis einer Partei steigt von 4 % auf 5 %. Die Partei verbessert sich um einen Prozentpunkt oder um 25 % (auf 125 % des Ausgangsprozentsatzes). Prozentpunkte geben die einfache Differenz zwischen zwei Prozentsätzen an. Wird der Unterschied aber in Prozent (des Ausgangsprozentsatzes) ausgedrückt, dann muss der Ausgangsprozentsatz gedanklich auf 100 % gesetzt werden. Im obigen Beispiel sind 5 % gleich 125 % von 4 %.

Grundwertänderung bei Sequenzen

Besondere Vorsicht ist bei der Verkettung mehrerer Steigerungen oder Verminderungen geboten. Wird ein Ausgangswert $A$ nacheinander um den gleichen Prozentsatz $p$ (ungleich Null) erhöht und dann verringert, so ergibt sich keineswegs wieder der Ausgangswert als Ergebnis $E$ , sondern ein kleinerer Wert, weil sich die zweite Operation auf das Ergebnis der ersten und damit auf einen anderen Grundwert bezieht. Das wird bei Berechnung mittels Faktoren deutlich:

E=A\cdot \left(1+{\tfrac {p}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {p}{100}}\right)=A\cdot \left(1-{\tfrac {p^{2}}{10000}}\right)

Beispiel: "Wenn 100 Euro zunächst um 10 % erhöht und dann um 10 % verringert wird, so ergibt das:

E=100\cdot \left(1+{\tfrac {10}{100}}\right)\cdot \left(1-{\tfrac {10}{100}}\right)=100\cdot 1{,}1\cdot 0{,}9=100\cdot 0{,}99=99

Es ergeben sich also nur noch 99 Euro. Das gilt wegen der Kommutativität der Multiplikation auch für die umgekehrte Reihenfolge.

Varianten der Prozentrechnung

Die Prozentrechnung wird je nach Voraussetzungen und Anforderungen auf unterschiedliche Weise ausgeführt und unterrichtet. So können mit Proportionen die üblichen Formeln gewonnen werden, was diese sich zu merken erspart. Beim sogenannten Kopfrechnen wird meist die vermittelnde Frage, was 100 % bzw. 1 % ist (entspricht), gestellt.

Beispiel:

42 kg sind 7 %. Wie viel sind (entsprechen) 100 %?
Gegeben sind W (Prozentwert) und p % (Prozentsatz).
Gesucht ist G (Grundwert).

Mit allgemeiner Formel	Mit eigener Verhältnisgleichung (Proportion)	Mit „Was ist 1 %?“ (Dreisatz) ${\frac {p\,\%}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}$
${\frac {p\,\%}{100\,\%}}={\frac {W}{G}}$ mehrfaches Umstellen ergibt: $G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot {100\,\%}$ $G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}$	${\frac {G}{42\,{\text{kg}}}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}$ einfaches Umstellen ergibt: $G={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}\cdot {100\,\%}=600\,{\text{kg}}$	${\frac {42\,{\text{kg}}:{\color {red}7}}{7\,\%:{\color {red}7}}}={\frac {6\,{\text{kg}}}{1\,\%}}={\frac {6\,{\text{kg}}\cdot {\color {red}100}}{1\,\%\cdot {\color {red}100}}}$ ohne Umstellen ergibt der letzte Zähler: $G=6\,{\text{kg}}\cdot 100=600\,{\text{kg}}$
Vorteil: • Eine Formel für alle Aufgaben	Vorteile: • Ohne Formel • Einfaches Umstellen, wenn die gesuchte Größe – hier G – links oben im Zähler steht.	Vorteile: • Ohne Formel • Einfacher Dreisatz – hier als Gleichungskette • Anwendung beim Kopfrechnen

Beispiele

Anteilsberechnung

Wir verwenden die bereits oben eingeführten Abkürzungen:

Grundwert G: Die Ausgangsgröße (die 100 % entspricht)
Prozentwert W: Der anteilige Wert, gemäß Prozentsatz vom Grundwert abgeleitet.
Prozentsatz p %: Der Anteil von W an G, ausgedrückt in Prozent
Prozentfuß p: Die Zahl vor dem Prozentzeichen.

Damit lautet die Grundformel für den Prozentsatz als Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert:

p\,\%={\frac {W}{G}}

.

Für den Prozentfuß an Stelle des Prozentsatzes nimmt die Formel folgende Form an:

p=100\cdot {\frac {W}{G}}

.

Je nach Verwendungszweck kann die Grundformel auch nach dem Grundwert G oder nach dem Prozentwert W aufgelöst werden:

G={\frac {W}{p\,\%}}

und

W={p\,\%}\cdot G

.

Beispiel

Wenn 42 kg genau 7 % sind, welches Gewicht entspricht den vollen 100 %?

Hier sind also folgende Größen bekannt:

Prozentwert W: 42 kg
Prozentsatz p %: 7 %.

Gesucht wird der Grundwert G.

Die Lösung ergibt sich mit der nach G aufgelösten Prozentsatz-Grundformel als

G={\frac {W}{p\,\%}}={\frac {42\,{\text{kg}}}{7\,\%}}={\frac {42}{\frac {7}{100}}}\,{\text{kg}}={\frac {42\cdot 100}{7}}\,{\text{kg}}=600\,{\text{kg}}

.

Umsatzsteuer

Ein alltägliches Beispiel ist die Berechnung der Umsatzsteuer. Diese ist definiert durch den Wert eines Produktes (Nettobetrag) multipliziert mit einem Umsatzsteuersatz, der in Prozent angegeben wird. Der Grundwert dieser Prozentangabe ist also der Nettobetrag. Der Bruttobetrag ist die Summe von Nettobetrag und Umsatzsteuer:

Umsatzsteuer = Nettobetrag · Umsatzsteuersatz

Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer

Sind 100 Euro der Nettobetrag und der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %, so errechnet man die Umsatzsteuer durch:

100 Euro · 19 % = 100 Euro · 0,19 = 19 Euro

Demzufolge errechnet sich der Bruttobetrag folgendermaßen:

100 Euro + 19 Euro = 119 Euro

Durch Einsetzen in die Formel erhält man:

Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer

Bruttobetrag = Nettobetrag + (Nettobetrag · Umsatzsteuersatz)

Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + Umsatzsteuersatz)

Im gegebenen Beispiel mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % erhält man

Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + 19 %) = Nettobetrag · (1 + 0,19) = Nettobetrag · 1,19

Durch Umstellung dieser Formel lässt sich aus dem Bruttobetrag der Nettobetrag einfach errechnen durch

{\text{Nettobetrag}}={\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}

.

Die im Bruttobetrag enthaltene Umsatzsteuer beträgt

{{\text{Umsatzsteuer}}={\text{Bruttobetrag}}-{\text{Nettobetrag}}={\text{Bruttobetrag}}-{\frac {\text{Bruttobetrag}}{1+{\text{Umsatzsteuersatz}}}}}

.

Sprachgebrauch

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird bei Angaben in Zusammenhang mit Prozenten häufig nicht auf die mathematische Definition geachtet, was die Ursache für Ungenauigkeiten und Fehler ist. Beispiele dafür sind:

„Im Rechnungsbetrag sind 19 % Umsatzsteuer enthalten“

bedeutet, dass der Umsatzsteuersatz 19 % beträgt und der Rechnungsbetrag der Bruttobetrag ist, also Nettobetrag plus Umsatzsteuer. Korrekt müsste es daher lauten: „Im Rechnungsbetrag ist die Umsatzsteuer mit einem Umsatzsteuersatz von 19 % enthalten“.

„Die Umsatzsteuer beträgt 19 %“

Falsch, sollte eigentlich heißen „der Umsatzsteuersatz beträgt 19 %“.

„19 % des Rechnungsbetrages sind Umsatzsteuer“

Falsch, da es sich beim Rechnungsbetrag um den Nettowert plus Umsatzsteuer handelt. 19 % von einem Betrag von beispielsweise 119 Euro entsprechen 22,61 Euro. Tatsächlich beträgt die enthaltene Umsatzsteuer hier aber 19 Euro und macht rund 15,97 % des Rechnungsbetrages aus.

Da 19 % und 15,97 % nicht weit auseinander liegen, kann die falsche Formulierung zu unbemerkten Fehlern führen. Deshalb noch folgende Beispiele:

„Mein Taschengeld hat sich um 50 % erhöht.“

Beträgt das Taschengeld nach der Erhöhung insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 5 Euro. „50 %“ bezieht sich auf den Grundwert 10 Euro. Das ist der Betrag des Taschengeldes vor der Erhöhung.

„50 % meines Taschengeldes sind ein Zuschuss von meiner Oma.“

Beträgt das Taschengeld insgesamt 15 Euro, so entsprechen 50 % hier 7,50 Euro. „50 %“ bezieht sich hier auf den Grundwert 15 Euro. Obwohl der Prozentsatz „50 %“ in beiden Aussagen gleich ist, sind die Prozentwerte „5 Euro“ und „7,50 Euro“ unterschiedlich, da sich die Aussagen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Steigung in Prozent

In der Technik (zum Beispiel Rohrleitung) wird auch die Steigung (bzw. das Gefälle) in Prozent angegeben. Diese Prozentangabe drückt das Verhältnis von Höhenunterschied und waagerechter Strecke aus. Eine Steigung von 100 % bedeutet demzufolge einen Steigungswinkel von 45°. Eine Steigung von 10 % bedeutet, dass auf einer horizontalen Strecke von 100 m ein Höhenunterschied von 10 m zurückgelegt wird.

Im Straßenverkehr gibt der auf einem Verkehrsschild angegebene Wert nicht die durchschnittliche Steigung des vor einem liegenden steilen Streckenabschnitts an, sondern die maximale Steigung dieses Streckenabschnitts.

Eine Steigungsangabe in Prozent lässt sich über die Arcustangens-Funktion in eine Winkelangabe (je nach DRG-Einstellung des Taschenrechners in Grad, rad oder gon) umrechnen:

\alpha =\arctan \left({\frac {p}{100}}\right)

Die folgende Tabelle gibt für einige typische Werte für Eisenbahnstrecken (Bereich um 1 %), Gebirgsstraßen (Bereich zwischen 10 % und 30 %), Skipisten (Bereich bis 100 %) sowie zur Illustration einige extreme Werte an.

Typische Steigungen

Steigung $p$	Winkel $\alpha$ (ca.)
0,0 %	0,0°
0,1 %	0,057°
0,3 %	0,17°
1 %	0,57°
3 %	1,72°
8 %	4,57°
10 %	5,71°

Steigung $p$	Winkel $\alpha$ (ca.)
12 %	6,84°
15 %	8,53°
20 %	11,31°
25 %	14,04°
30 %	16,70°
40 %	21,80°
50 %	26,57°

Steigung $p$	Winkel $\alpha$ (ca.)
70 %	35,00°
100 %	45,00°
200 %	63,43°
500 %	78,69°
1000 %	84,29°
10000 %	89,43°
∞ (unendlich) %	90,00°

Stoffgemische

Zu beachten ist auch, dass Prozentangaben für den Gehalt eines Stoffes als Mengenverhältnis Gramm pro 100 Gramm angegeben werden können, wobei zu spezifizieren und zu differenzieren ist, ob (wie bei Löslichkeitsangaben) Gramm Stoff pro 100 g des Lösungsmittels gemeint sind oder Gramm Stoff pro 100 Gramm einer fertigen Lösung (im Sinne einer Konzentrationsangabe) (mehr dazu siehe Gehaltsangabe).

Bei Prozentangaben von Stoffgemischen muss angegeben sein, ob sich diese auf den Massenanteil oder den Volumenanteil bezieht. Haben die Stoffe unterschiedliche Dichten, so sind diese beiden Angaben verschieden. Beispielsweise wird bei Getränken der Alkoholanteil in Volumenprozent (% Vol.) angegeben.

Da Alkohol eine geringere Dichte (ca. 0,8 g/cm³) als Wasser (ca. 1 g/cm³) hat, ist der Anteil des Alkohols in Masseprozent geringer als der in Volumenprozent. Beispielsweise beträgt für ein Getränk mit 50 % Vol. Alkohol der Masseanteil des Alkohols lediglich 44,4 % (Masse).

Eingabe am Taschenrechner

Taschenrechner unterschiedlicher Bauart und Hersteller behandeln die Tastatureingabe einer Prozentrechnung unterschiedlich. Dies kann zu Verwirrungen bzw. dazu führen, dass Benutzer von Taschenrechnern bei Prozentrechnungen auf die Prozenttaste verzichten und eher auf den Dreisatz oder auf die obenstehende Formel zurückgreifen.

Etymologie

Der Begriff Prozent entstammt der Kaufmannssprache und taucht im Deutschen erstmals im 15. Jahrhundert in kaufmännischen Dokumenten aus Süddeutschland auf. Dort wird jedoch noch nicht das heutige Wort verwendet, sondern das aus dem Italienischen übernommene per cento (dt. pro hundert).^[7] Das italienische cento wiederum leitet sich von dem lateinischen centum (dt. hundert) ab. Im 16. Jahrhundert setzte sich im hochdeutschen Sprachraum dann eine Umstellung auf pro cento durch,^[7] die dann zum heutigen Prozent und der inzwischen veralteten relatinisierten Form pro centum geworden ist.^[8]^[9] In Österreich jedoch blieb die ursprüngliche italienische Form weiterhin erhalten und wurde zu dem heutigen (inzwischen allerdings auch veralteten) Perzent.^[10]^[7]

Schreibweise

Die typografisch korrekte Schreibweise ist mit einem Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen. Im Computersatz ist hier ein geschütztes Leerzeichen zu verwenden, um einen Umbruch zwischen Zahl und Prozentzeichen zu verhindern. Diese Regel gilt neben der deutschen in vielen weiteren Sprachen wie in der französischen, norwegischen, russischen und schwedischen Sprache. In der englischen Sprache wird dagegen kein Leerzeichen zwischen Zahl und Prozentzeichen gesetzt.
Bei Verwendung mit Nachsilbe wird zusammengeschrieben. Beispiel: „15%ige Steigung“. Eleganter ist jedoch, halb oder ganz auszuschreiben: „15-prozentige Steigung“ oder „fünfzehnprozentige Steigung“.
Singular/Plural: 1 % wird im Singular geschrieben, bevorzugt mit „ein“ statt Zahl: „Das ist nur ein Prozent aller Stimmen“. Andere Werte im Plural: „Das sind 7,5 % der Stimmen.“ oder „Das sind nur drei Prozent der Stimmen.“

Weitere Begriffe

Prozentränge oder Perzentile bezeichnen die Intervalle, die eine statistische Verteilung in 100 anteilsgleiche Teile zerlegen.
Promille haben als Referenzwert die 1000, nicht die 100.
Als Prozentpunkte werden die Differenz zwischen zwei Prozentwerten bezeichnet, und Basispunkt bezeichnet den hundertsten Teil eines Prozentpunktes bei Zinssätzen.
Der Begriff Bremshundertstel wird im Eisenbahnwesen bei der Angabe des Bremsvermögens von Schienenfahrzeugen verwendet.

Weblinks

Wiktionary: Prozent – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: ${\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}$ Mathematik für die Schule – Prozentrechnung

Formelsammlung Mathe: Prozentrechnung – Übersichtliche Darstellung der wichtigsten Formeln zur Prozentrechnung
Prozentrechnung mit Formeln. In: Serlo.

Einzelnachweise

↑ Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 17, S. 308.
↑ Vorkommen von X vom Hundert. Gesellschaft für deutsche Sprache; abgerufen am 21. November 2012.
↑ Punkt 3.1.5, Tabelle 2 in der DIN 1333 – Ausgabe September 1992.
↑ ^a ^b Jürgen Tietze: Einführung in die Finanzmathematik. 10. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-9643-8, S. 1–2 (Auszug (Google)).
↑ Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik. 14., neu bearb. und erw. Auflage. Hrsg. von Siegfried Gottwald … Meyers Lexikonverlag, Mannheim 1995, ISBN 3-411-07771-9, S. 149.
↑ Fritz Reinhardt: dtv-Atlas Schulmathematik. Deutscher Taschenbuch Verlag, 2002, ISBN 3-423-03099-2, S. 90–91.
↑ ^a ^b ^c Etymologie. Herkunftswörterbuch der deutschen Sprache. Duden Band 7, Bibliographisches Institut Mannheim 1963, ISBN 3-411-00907-1, S. 535.
↑ duden.de
↑ Boris Paraschkewow: Wörter und Namen gleicher Herkunft und Struktur: Lexikon etymologischer Dubletten im Deutschen. Walter de Gruyter 2004, ISBN 978-3-11-017470-0, S. 54 (Auszug in der Google-Buchsuche).
↑ duden.de abgerufen am 5. Dezember 2009

[1] Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden. BI-Taschenbuchverlag, 1992, Band 17, S. 308.

[2] Vorkommen von X vom Hundert. Gesellschaft für deutsche Sprache; abgerufen am 21. November 2012.

[3] Punkt 3.1.5, Tabelle 2 in der DIN 1333 – Ausgabe September 1992.

[Tietze-4] Jürgen Tietze: Einführung in die Finanzmathematik. 10. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-9643-8, S. 1–2 (Auszug (Google)).

[5] Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik. 14., neu bearb. und erw. Auflage. Hrsg. von Siegfried Gottwald … Meyers Lexikonverlag, Mannheim 1995, ISBN 3-411-07771-9, S. 149.

[dtv-6] Fritz Reinhardt: dtv-Atlas Schulmathematik. Deutscher Taschenbuch Verlag, 2002, ISBN 3-423-03099-2, S. 90–91.

[duden-7] Etymologie. Herkunftswörterbuch der deutschen Sprache. Duden Band 7, Bibliographisches Institut Mannheim 1963, ISBN 3-411-00907-1, S. 535.

[8] uden.de

[9] Boris Paraschkewow: Wörter und Namen gleicher Herkunft und Struktur: Lexikon etymologischer Dubletten im Deutschen. Walter de Gruyter 2004, ISBN 978-3-11-017470-0, S. 54 (Auszug in der Google-Buchsuche).

[10] uden.de abgerufen am 5. Dezember 2009

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Inhaltsverzeichnis

Definition

Beispiele

Begriffe