Pseudobetrag

Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Definition

Sei $R$ ein unitärer Ring. Eine Abbildung $|\cdot |\colon R\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle $a,b\in R$ folgende Eigenschaften gelten:

(1) $|a|=0\;\Leftrightarrow \;a=0$ (Definitheit)

(2) $|a-b|\leq |a|+|b|$

(3) $|a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|$ (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a) $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ (Multiplikativität),

so ist $|\cdot |$ ein Betrag.

Der Pseudobetrag $|\cdot |$ heißt nicht-archimedisch, wenn

(4) $|a+b|\leq \max(|a|,|b|)$

gilt.

Eigenschaften

• Für einen Pseudobetrag gelten stets

$|{-a}|=|a|$

und

$|a+b|\leq |a|+|b|$ (Dreiecksungleichung).

• Für einen Pseudobetrag gilt stets $|1|\geq 1$, für einen Betrag gilt sogar $|1|=1$.
• Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
• Die Funktion

${\begin{array}{llll}d\;\colon &R\times R&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\&d(a,b)&\mapsto |a-b|\end{array}}$

definiert die vom Pseudobetrag $|\cdot |$ induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Beispiele

Sei $(R,|\cdot |)$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

Dann sind die Polynomalgebren $R[X]$ in einer bzw. $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

Analog sind die Matrizenalgebren $R^{n\times n}$ wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit $1\leq p\leq 2$ ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.