Punktfunktor

In der Mathematik ist der Punktfunktor ein Begriff aus der algebraischen Geometrie. Er ermöglicht es, in abstrakt definierten Schemata von Punkten zu sprechen und damit den klassischen Begriff der Punkte einer Varietät zu verallgemeinern.

Definition

Zu einem Schema $X$ assoziiert man seinen Punktfunktor

$h_{X}\colon \left\{Schemes\right\}^{op}\to \left\{Sets\right\}$

durch

$h_{X}(Y)=Mor(Y,X)$,

also, indem man einem Schema $Y$ die Menge der Morphismen von $Y$ nach $X$ zuordnet.

Jedem Morphismus $f\colon Y\to Z$ wird die durch $g\mapsto g\circ f$ definierte Abbildung $h_{X}(Z)\to h_{X}(Y)$ zugeordnet.

Die Elemente der Menge $h_{X}(Y)$ werden (nach Grothendieck) als $Y$-wertige Punkte von $X$ bezeichnet. Insbesondere werden für einen Ring $T$ mit Spektrum $Spec(T)$ die $Spec(T)$-wertigen Punkte als $T$-wertige Punkte von $X$ bezeichnet.

Beispiel

Betrachte $SL_{2}:=Spec(R)$ mit

$R=\mathbb {Z} \left[x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}\right]/(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}-1)$.

Dann entsprechen die $\mathbb {C}$-wertigen Punkte von $SL_{2}$ den Elementen von $SL(2,\mathbb {C} )$, die $\mathbb {R}$-wertigen Punkte von $SL_{2}$ entsprechen den Elementen von $SL(2,\mathbb {R} )$, die $F_{q}$-wertigen Punkte von $SL_{2}$ entsprechen den Elementen von $SL(2,F_{q})$ und die $\mathbb {Z}$-wertigen Punkte von $SL_{2}$ den Elementen von $SL(2,\mathbb {Z} )$.

Hingegen würden nicht alle Punkte von $Spec(\mathbb {R} \left[x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}\right]/(x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}-1))$ Elementen aus $SL(2,\mathbb {R} )$ entsprechen, weil es in diesem Ring auch Maximalideale gibt, die Paaren komplex konjugierter Matrizen aus $SL(2,\mathbb {C} )$ entsprechen.

Eindeutigkeit

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass der Punktfunktor $h_{X}$ das Schema $X$ eindeutig bestimmt. Tatsächlich wird ein Schema über einem kommutativen Ring $R$ bereits durch die Werte von $h_{X}$ auf affinen Schemata über $R$ eindeutig festgelegt.

Rationale Punkte

Für ein Schema über einem Körper $K$ (d. h. ein Schema $X$ mit einem Morphismus $f\colon X\to Spec(K)$) bezeichnet man als $K$-wertige Punkte diejenigen Morphismen $Spec(K)\to X$, deren Komposition mit $f$ die Identitätsabbildung ist.

Die $K$-wertigen Punkte sind dann genau die K-rationalen, abgeschlossenen Punkte von $X$. (Ein Punkt heißt $K$-rational, wenn der Quotientenkörper des lokalen Ringes nach seinem Maximalideal isomorph zu $K$ ist.)

Beispielsweise hat $Spec(\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1))$ als Schema über $\mathbb {R}$ keine $\mathbb {R}$-wertigen Punkte, während es als Schema über $\mathbb {C}$ zwei $\mathbb {C}$-wertige Punkte hat.

Literatur

• Eisenbud-Harris: The Geometry of Schemes. Lecture Notes in Mathematics 197, Springer-Verlag New York. online