Pythagoraszahl
Die Pythagoraszahl eines Körpers ist definiert als das kleinste , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in schon als Summe von Quadraten schreiben lässt.[1]
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für einen Körper sei
die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.
Mit
bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in , die höchstens Länge haben. Offensichtlich gilt für alle . Unklar ist dagegen, ob immer ein existiert, so dass . Als Pythagoraszahl von bezeichnen wir die folgende Größe:
wobei genau dann, wenn für alle gilt. Es ist stets .
Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für ein , so dass . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
- Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen .
- Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen , d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.
Weitere Beispiele und Beweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Satz Falls nicht-reeller Körper ist, (das heißt ,) lässt sich die Pythagoraszahl von abschätzen durch die Stufe von :
Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)
Falls ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade[2], nach dem für einen beliebigen Körper mit gilt, dass (zum Beweis vgl. Stufe).
Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass .
Ganz exakt kann man im Fall werden, wo eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:
Satz für alle wo prim und ist.
Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)
Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter der Transzendenzgrad von über .
Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass für alle gilt.
Wegen ist diese Abschätzung scharf für .
Für wurde bisher gezeigt[3]. Vermutlich gilt aber sogar , was dann wegen eine scharfe Abschätzung wäre.[4]
Eine ausführliche Darstellung des Beweises von findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136
- ↑ A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993
- ↑ Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel
- ↑ Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971