Rationaler Funktionenkörper

Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper $K(X)$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $K[X]$ über einem Körper $K$. Die Konstruktion von $K(X)$ ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente $r\in K(X)$ können also als $r={\tfrac {f}{g}}$ mit Polynomen $f,g\in K[X]$, wobei $g$ nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

• Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom $\rightarrow$ Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper $K$ unendlich ist. Beispiel: Ist $K=\mathbb {F} _{2}$ der Körper mit 2 Elementen, so induzieren $X$ und $X^{2}$ die gleiche Funktion auf $K$. Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
• Zweitens hat in der Regel der Nenner $g$ Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz $K$ definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für $K=\mathbb {F} _{3}$ gilt zwar ${\tfrac {1}{X^{3}-X}}$ als rationale Funktion auf $K$ im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung $K(X)/K$ ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine $K$-Basis des $K$-Vektorraums $K(X)$ angeben.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in den Variablen $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}$ ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen $\displaystyle X_{i}$ und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

$\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})[X_{n}]$, also des Polynomrings über dem Körper $\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n-1})$ in der Variable $\displaystyle X_{n}$

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper $K$ algebraisch abgeschlossen und $V$ eine affine Varietät im $K^{n}$. Dann ist das Ideal $I(V)$ ein Primideal im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, weshalb der Koordinatenring $K[V]$, d. h. der Quotientenring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/I(V)$, ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper $K(V)$ des Koordinatenrings $K[V]$ heißt dann Funktionenkörper von $V$. Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf $V$ und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von $V$ betrachtet werden.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-39567-3 ($K(X)$ und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$). 
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2, S. 41, doi:10.1007/978-3-8348-2348-9 (Algebraische Geometrie).