Rayos Zahl

Rayos Zahl, benannt nach dem mexikanischen Philosophieprofessor Agustín Rayo, ist eine Zahl, von der behauptet wurde, sie sei die größte benannte Zahl. Ursprünglich wurde sie definiert infolge eines „Big Number Duel“ am Massachusetts Institute of Technology (MIT) am 26. Januar 2007.

Definition

Die Definition von Rayos Zahl ist eine Variation folgender Definition:

Die kleinste Zahl, die größer ist als irgendeine finite Zahl, benannt nach einem Satz einer Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe, mit eine Googol Stellen oder weniger.

Eine ursprüngliche Definition, welche später präzisiert wurde, lautet: „Die kleinste Zahl, die größer ist, als irgendeine Zahl, die durch die Prädikatenlogik erster Stufe definiert wurde und mit weniger als einer Googol Stellen“.

Die formale Definition der Rayo Zahl benutzt die Prädikatenlogik zweiter Stufe, wo [φ] eine Gödelisierung und s eine variable Zuweisung ist:

Für alle R {
{für irgend eine (codierte) Formel [ψ] und irgend einer variablen Zuweisung t
(R([ψ],t) ↔
(([ψ] = „x_i ∈ x_j“ ∧ t(x_i) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = „x_i = x_j“ ∧ t(x_i) = t(x_j)) ∨
([ψ] = „(~θ)“ ∧ ∼R([θ],t)) ∨
([ψ] = „(θ∧ξ)“ ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = „∃x_i (θ)“ und, für eine
 x_i-Variante t' von t, R([θ],t'))
)}   →
R([φ],s)}

Anhand dieser Formel lässt sich Rayos Zahl folgendermaßen definieren:

Die kleinste Zahl, die größer ist als jede finite Zahl m, mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine Formel φ(x₁), in der Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe (wie repräsentiert in der Definition Sat) mit weniger als einer Googol Stellen und x₁ als seine einzige freie Variabel, sodass: (a) es gibt eine variable Zuweisung s, die m zu x₁ zuweist, sodass Sat([φ(x₁)],s) und (b) für irgendeine variable Zuweisung t, wenn Sat([φ(x₁)],t), weist t, m zu x₁.

Erklärung

Die Rayos Zahl wird in einer formalen Sprache definiert, sodass:

• „x_i∈x_j“ und „x_i=x_j“ atomare Formeln sind.
• Wenn θ eine Formel ist, dann ist „(~θ)“ eine Formel (die Negation von θ).
• Wenn θ und ξ Formeln sind, dann ist „(θ∧ξ)“ eine Formel (die Konjunktion von θ und ξ).
• Wenn θ eine Formel ist, dann ist „∃x_i(θ)“ eine Formel (Existenzaussage).

Anzumerken ist, dass es nicht erlaubt ist die Klammern zu entfernen. Zum Beispiel muss man „∃x_i((~θ))“ schreiben, anstatt „∃x_i(~θ)“.

Es ist möglich, die fehlende logische Verknüpfung in dieser Sprache auszudrücken:

• Disjunktion: „(θ∨ξ)“ als „(~((~θ)∧(~ξ)))“.
• Subjunktion: „(θ⇒ξ)“ als „(~(θ∧(~ξ)))“.
• Bikonditional: „(θ⇔ξ)“ als „((~(θ∧ξ))∧(~((~θ)∧(~ξ))))“.
• Allaussage: „∀x_i(θ)“ als „(~∃x_i((~θ)))“.

Die Definition betrifft Formeln in dieser Sprache, die nur eine freie Variable, spezifisch x₁, haben. Wenn eine Formel mit der Länge n zufrieden gestellt ist wenn und nur wenn x₁ gleich der finiten Ordinalzahl k ist, sagen wir die Formel ist eine „Rayo Zeichenfolge“ für k, und dass das k mit n vielen Stellen „Rayo-benennbar“ ist. Somit ist Rayo(n) definiert als das kleinste k, das größer ist, als alle Rayo-benennbaren Zahlen mit n vielen Stellen.

Beispiele

Um die 0 Rayo zu benennen, welches die leere Menge ist, kann man schreiben „(¬∃x₂(x₂∈x₁))“, was zehn Stellen hat. Es kann gezeigt werden, dass dies die optimale Rayo Zeichenfolge für 0 ist. Analog dazu ist (∃x₂(x₂∈x₁)∧(¬∃x₂((x₂∈x₁∧∃x₃(x₃∈x₂))))) mit 30 Stellen die optimale Rayo Zeichenfolge für 1. Ergo ist Rayo(n)=0 für 0≤n<10 und Rayo(n)=1 für 10≤n<30.

Des Weiteren kann gezeigt werden, dass Rayo(34+20n)>n und dass Rayo(260+20n)>ⁿ2.