Regenerativer Prozess

Ein regenerativer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, der unter anderem in der Warteschlangentheorie und Erneuerungstheorie vorkommt.

Definition

Sei $\{X_{t}\}_{t\in I}$, mit $I=\mathbb {N}$ oder $I={\mathopen {[}}0,\infty {\mathclose {[}}$, ein stochastischer Prozess mit Werten in einem Zustandsraum $(E,{\mathcal {E}})$. Wir nennen den (un-/verzögerten) Prozess $\{X_{t}\}_{t\in I}$regenerativ (im weiten Sinne), wenn ein (un-/verzögerter) Erneuerungsprozess $\{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=\{Y_{0}+\ldots +Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass für alle $n\geq 0$ der Post-${\textstyle S_{n}}$-Prozess $\left(Y_{n+1},Y_{n+2},\ldots ,\{X_{S_{n}+t}\}_{t\in I}\right)$ sowohl unabhängig von $S_{0},\ldots ,S_{n}$ (bzw. $Y_{0},\ldots ,Y_{n}$) ist, als auch seine Verteilung nicht von $n$ abhängt. Wir nennen $\{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ den eingebetteten Erneuerungsprozess und die $S_{n}$Regenerationszeiten.

Diese Definition erlaubt eine gewisse Abhängigkeit zwischen den Zyklen, im Gegensatz zu der klassischen Definition, welche fordert, dass der Post-${\textstyle S_{n}}$-Prozess unabhängig von $S_{0},\ldots ,S_{n}$und $\{X_{t}\}_{t<S_{n}}$ist.

Beispiele

Klassische Beispiele von regenerativen Prozessen sind:

• positiv rekurrente, irreduzible Markovketten (in stetiger wie diskreter Zeit)
• G/G/1-Warteschlangen
• Alterprozess und Restlebensdauerprozess eines Erneuerungsprozesses

Grenzverhalten

Regenerative Prozesse besitzen eine Grenzverteilung unter vergleichsweise milden Bedingungen, die in vielen Anwendungen automatisch erfüllt sind.